Из точки а(0; -1) проведите касательную к графику функции y= ln (1/3 e^3 x )

Это прямая, и касательная к ней - эта же самая прямая.
Но она не проходит через точку A(0; -1).
Так что задача решения не имеет.

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции y = ln(1/3e^3x) в точке А(0; -1), мы должны использовать важное свойство касательной - ее угловой коэффициент равен производной функции в этой точке.

Шаг 1: Найдем производную функции y = ln(1/3e^3x). Для этого воспользуемся правилами дифференцирования. Обратимся сначала к свойству логарифмов, где ln(a/b) = ln(a) - ln(b):

y = ln(1/3) - ln(e^3x)

Вычисляем производную от каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования натурального логарифма (ln(u)' = u' / u):

y' = 0 - (1/3 * (e^3x)' / (e^3x))

Упрощаем:

y' = -(e^3x)' / (3e^3x)

Шаг 2: Найдем производную e^3x методом дифференцирования сложной функции:

(e^3x)' = 3e^3x * (3x)'

Так как производная от x равна 1:

(e^3x)' = 3e^3x * 3

(e^3x)' = 9e^3x

Шаг 3: Подставим полученное значение производной обратно в y':

y' = -(9e^3x) / (3e^3x)

y' = -3

Теперь у нас есть значение углового коэффициента (производной) -3.

Шаг 4: Уравнение касательной имеет вид y - y0 = k(x - x0), где (x0, y0) - координаты точки, к которой проводится касательная, а k - угловой коэффициент.

Подставляем значения из задачи:

y - (-1) = -3(x - 0)

Упрощаем:

y + 1 = -3x

Шаг 5: Перепишем уравнение касательной в форме y = kx + b:

y = -3x - 1

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = ln(1/3e^3x) в точке А(0; -1) будет y = -3x - 1.