Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию f(x)=27 кубический корень x -x

Для исследования функции на монотонность и экстремумы нам нужно выяснить, как она меняется при изменении значения аргумента x.

Функция дана следующим образом: f(x) = 27√x - x

1. Найдем область определения функции:
У функции под знаком корня должно быть неотрицательное значение, поэтому x ≥ 0.
Таким образом, область определения функции: x ≥ 0.

2. Найдем производные функции:
Для исследования монотонности и нахождения экстремумов функции, нам необходимо найти производные первого и второго порядка.

Первая производная f'(x) позволяет определить, когда функция возрастает и когда убывает. Возьмем производную от каждого слагаемого в функции:

f'(x) = (27√x)' - x'

Для удобства дифференцирования вспомним, что √x = x^(1/2).
Тогда получим:

f'(x) = 27 * (x^(1/2))' - 1

Дифференцируем каждое слагаемое:
(x^(1/2))' = (1/2)x^(-1/2) = (1/2√x)

Теперь выразим первую производную:

f'(x) = 27 * (1/2√x) - 1
f'(x) = 27/2√x - 1

Вторая производная f''(x) позволяет определить, есть ли в точке экстремум и какого типа он будет:

f''(x) = (27/2√x - 1)'

Дифференцируем каждое слагаемое:
(27/2√x - 1)' = (27/2√x)' - 1'

Теперь найдем частные производные:
(√x)' = (1/2√x)
(1)' = 0 (производная постоянной равна нулю)

Теперь выразим вторую производную:

f''(x) = (27/2√x - 1)'
f''(x) = (27/2√x)' - 0
f''(x) = (27/2√x)
f''(x) = 27/(2√x)

3. Определение монотонности функции:
Для определения монотонности нужно проанализировать знак первой производной. Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна - функция убывает.

f'(x) = 27/2√x - 1

Установим неравенство нулю и найдем значения, где производная меняет знак:

27/2√x - 1 ≥ 0

27/2√x ≥ 1

27/2√x ≥ 2/2

27/2√x ≥ √x

Получаем неравенство:

√x ≤ 27/2√x

Теперь возводим обе части неравенства в квадрат:

(√x)^2 ≤ (27/2√x)^2

x ≤ (27/2)^2

x ≤ 27^2/4

x ≤ 729/4

Таким образом, итоговое множество, где функция возрастает или убывает, будет x ≤ 729/4.

4. Определение экстремумов функции:
Для определения экстремумов функции нужно проанализировать знак второй производной. Если вторая производная положительна, то в данной точке будет минимум, если отрицательна - будет максимум.

f''(x) = 27/(2√x)

Установим неравенство нулю и найдем значения, где производная меняет знак:

27/(2√x) > 0

27 > 0 (неравенство выполнено всегда)

Таким образом, функция f(x) не имеет экстремумов.

Итак, наше исследование показало, что функция f(x) = 27√x - x монотонно возрастает при x ≤ 729/4 и не имеет экстремумов.