Исследуйте функцию y=e^4x (2-3x) на монотонность и экстремумы.

y'=4e^(4x)(2-3x)-3e^(4x)=exp(4x)*(8-12x-3)=exp(4x)*(-12x+5)

y'>=0 при x<=5/12 - ф-ция возрастает

y'<=0 при x>=5/12 - ф-ция убывает.

x=5/12 - точка максимума

Для исследования функции y = e^(4x)(2-3x) на монотонность и экстремумы, мы должны проанализировать ее производные и определить значения x, в которых производные равны нулю или не определены.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Используя правило произведения, производная функции y по x равна:
y' = [e^(4x)(2-3x)]' = (2-3x)e^(4x)' + e^(4x)(2-3x)'

Затем найдем производные каждого отдельного множителя:
(e^(4x))' = 4e^(4x) (применяем правило производной экспоненты)
(2-3x)' = -3 (применяем правило производной константы)

Подставим эти производные обратно в уравнение:

y' = (2-3x) * 4e^(4x) + e^(4x) * (-3)

Раскроем скобки и упростим выражение:

y' = 8e^(4x) - 12xe^(4x) - 3e^(4x)

Полученное выражение является производной функции y.

Шаг 2: Определение значений x, в которых производная равна нулю или не определена.

Чтобы найти значения x, в которых производная равна нулю, приравняем y' к нулю и решим уравнение:

8e^(4x) - 12xe^(4x) - 3e^(4x) = 0

Можно заметить, что в данном уравнении есть общий множитель e^(4x), поэтому мы можем вынести его за скобки:

e^(4x)(8 - 12x - 3) = 0

Теперь решим уравнение в скобках:

8 - 12x - 3 = 0
-12x + 5 = 0
-12x = -5
x = 5/12

Таким образом, у нас есть одна точка экстремума при x = 5/12.

Шаг 3: Исследование монотонности и экстремумов.

Для определения монотонности функции и других экстремумов, нам нужно проанализировать значение производных до, между и после значений x, найденных в предыдущем шаге.

Важно отметить, что y = e^(4x)(2-3x) является произведением двух положительных коэффициентов, поэтому ее знак будет зависеть от значения e^(4x).

Когда x < 5/12:
Возьмем любое x значение, которое меньше 5/12, например, x = 0. Подставим это значение в y', чтобы определить знак производной:

y' = 8e^(4x) - 12xe^(4x) - 3e^(4x)

y' = 8e^(4*0) - 12*0e^(4*0) - 3e^(4*0)

y' = 8 - 0 - 3 = 5

Таким образом, когда x < 5/12, производная положительна, а значит, функция y возрастает.

Когда x = 5/12:
Возьмем значение x = 5/12 и подставим его в y', чтобы определить знак производной:

y' = 8e^(4 * 5/12) - 12 * 5/12 * e^(4 * 5/12) - 3e^(4 * 5/12)

y' = 8e^(20/12) - 12 * (5/12) * e^(20/12) - 3e^(20/12)

Здесь мы должны использовать численные значения экспоненты.

Ввиду сложности вычислений, обозначим это значение как d1.

d1 ≈ 30.48

Таким образом, y' ≈ 30.48 - 30.48 - 3e^(20/12) = -3e^(20/12)

Так как e^(20/12) положительно, то -3e^(20/12) будет отрицательным значением.

Таким образом, когда x = 5/12, производная отрицательна и функция y убывает.

Когда x > 5/12:
Аналогично, вычислим производную в значении x > 5/12, например, x = 1:

y' = 8e^(4 * 1) - 12 * 1 * e^(4 * 1) - 3e^(4 * 1)

y' = 8e^4 - 12e^4 - 3e^4 = -7e^4

Таким образом, когда x > 5/12, производная отрицательна и функция y убывает.

Чтобы найти экстремумы функции, мы ищем точки перегиба или изменения монотонности. В данном случае, точка экстремума будет только одна при x = 5/12, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.

Итак, мы получаем, что функция y = e^(4x)(2-3x) монотонно возрастает на интервале x < 5/12 и монотонно убывает на интервале x > 5/12. Одна точка экстремума находится при x = 5/12.