Исследуйте функцию на монотонность
y= -2/3 x^3+5/2 x^2-2x-10
​

Для исследования функции на монотонность, нам нужно определить, в каких интервалах x функция возрастает или убывает. Для этого мы будем анализировать знак производной функции.

1. Найдем производную функции:
y' = (-2/3 * 3x^2) + (5/2 * 2x) - 2
= -2x^2 + 5x - 2

2. Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки функции:
-2x^2 + 5x - 2 = 0

Теперь, чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод факторизации, дискриминант или формулу для квадратных уравнений. Давайте воспользуемся формулой для квадратных уравнений:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В нашем случае:
a = -2, b = 5, c = -2

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу:

x = (-5 ± √(5^2 - 4(-2)(-2))) / (2(-2))
= (-5 ± √(25 - 16)) / (-4)
= (-5 ± √9) / (-4)

x1 = (-5 + 3) / (-4) = -2/4 = -1/2
x2 = (-5 - 3) / (-4) = -8/(-4) = 2

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = -1/2 и x = 2.

3. Найдем вторую производную функции для проверки экстремумов:
y'' = -4x + 5

4. Мы можем использовать критерий второй производной, чтобы узнать, являются ли критические точки экстремумами функции:

- Если y'' > 0, то функция имеет локальный минимум в данной точке.
- Если y'' < 0, то функция имеет локальный максимум в данной точке.
- Если y'' = 0, то мы не можем сказать ничего определенного о точке.

Давайте подставим значения x = -1/2 и x = 2 во вторую производную:

y''(-1/2) = -4(-1/2) + 5 = 2 + 5 = 7
y''(2) = -4(2) + 5 = -8 + 5 = -3

Мы видим, что y''(-1/2) > 0, а y''(2) < 0. Значит, точка x = -1/2 является локальным минимумом, а точка x = 2 является локальным максимумом.

5. Теперь мы можем использовать найденные критические точки и исследовать функцию на монотонность:

a) Интервал (-∞, -1/2):
Возьмем произвольное значение x, например x = -1. Подставим его в производную:
y'(-1) = -2(-1)^2 + 5(-1) - 2
= -2 + (-5) - 2
= -9
Как видим, y'(-1) < 0. Значит, на интервале (-∞, -1/2) функция убывает.

b) Интервал (-1/2, 2):
Возьмем произвольное значение x, например x = 0. Подставим его в производную:
y'(0) = -2(0)^2 + 5(0) - 2
= -2
Как видим, y'(0) < 0. Значит, на интервале (-1/2, 2) функция убывает.

c) Интервал (2, +∞):
Возьмем произвольное значение x, например x = 3. Подставим его в производную:
y'(3) = -2(3)^2 + 5(3) - 2
= -18 + 15 - 2
= -5
Как видим, y'(3) < 0. Значит, на интервале (2, +∞) функция убывает.

Итак, функция y = -2/3x^3 + 5/2x^2 - 2x - 10 убывает на всей числовой прямой, т.е. она монотонно убывает.