Исследуйте функцию на монотонность
y=√4x+9-2x ​

Объяснениепроизводная от у =  \frac{4}{2 \sqrt{4x+9} } - 2 =  \frac{2}{ \sqrt{4x+9} } - 2


4х1 + 9 > 0

4х1 + 9 = 0

х1 = - 9/4

х2 = -2

 

   -           +             -

0.

        -9/4            -2

возрастает на  ( -9/4 ; -2 ]

убывает на ( - бесконечность ; -9/4 ) - этот промежуток можно не записывать, так как его не существует

[ 2 ; + бесконечность ):

Чтобы исследовать функцию на монотонность, мы должны рассмотреть производную этой функции. Производная позволяет нам выяснить, в каких интервалах функция возрастает или убывает.

Для начала, давайте найдем производную функции y = √(4x+9-2x).

Для этого нам понадобится использовать правила дифференцирования. Производная функции √(4x+9-2x) будет равна:

dy/dx = d/dx(4x+9-2x)^(1/2).

Возведение в степень 1/2 можно представить как возведение в степень 1, а затем взятие квадратного корня:

dy/dx = (4x+9-2x)^(1/2)^1 = (4x + 9 - 2x)^0.5.

Теперь давайте упростим это выражение:

dy/dx = (2x + 9)^0.5.

Мы получили выражение для производной функции y по x.

Теперь давайте рассмотрим, когда производная положительна и когда она отрицательна.

dy/dx > 0 (положительно):
(2x + 9)^0.5 > 0.

Так как мы рассматриваем квадратный корень, мы исключаем отрицательные значения.

Таким образом, (2x + 9)^0.5 > 0 при любых значениях x, кроме x = -4.5. Значение -4.5 исключается, потому что в этой точке корень равен нулю.

dy/dx < 0 (отрицательно):
(2x + 9)^0.5 < 0.

Так как мы исключили отрицательные значения в предыдущем пункте, данное неравенство невозможно.

Таким образом, мы получили, что производная функции всегда положительна за исключением x = -4.5, где она равна нулю.

Исходя из этой информации, мы можем сделать следующие выводы:

1. Функция возрастает во всех точках, за исключением x = -4.5.
2. Функция достигает своей минимальной точки в x = -4.5, где производная равна нулю.

Данная информация позволяет нам исследовать монотонность функции y = √(4x+9-2x).