Исследуйте функцию на монотонность y= 2x-4/3+x
a) на открытом луче (-бесконечность; -3)
б) на открытом луче (-3; +бесконечность)
постройте график этой функции
​

Добрый день! Давайте рассмотрим ваш вопрос подробно.

Итак, дана функция y = (2x - 4) / (3 + x) и необходимо исследовать ее на монотонность на двух открытых лучах: (-∞, -3) и (-3, +∞).

a) Начнем с первого открытого луча (-∞, -3). Чтобы исследовать монотонность функции на этом отрезке, нам нужно выяснить, возрастает ли она или убывает.

1. Найдем производную функции y по переменной x. Для этого нам понадобится применить правила дифференцирования:

y' = (d/dx) [(2x - 4) / (3 + x)]

Для удобства воспользуемся правилом дифференцирования квоциента:

y' = [(2(3 + x) - (2x - 4)(1)) / (3 + x)²]

y' = [6 + 2x - 2x + 8 / (3 + x)²]

y' = (14 / (3 + x)²)

2. Теперь найдем область определения производной. Так как знаменатель не должен быть равен нулю, то мы исключаем значение x = -3 из области определения. То есть х принадлежит (-∞, -3) U (-3, +∞).

3. Теперь выясним, что происходит с знаком производной нашей функции на заданном интервале. Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна - функция убывает, и если равна нулю - есть экстремум.

Подставим произвольное значение x из открытого луча (-∞, -3), например, x = -4:

y' = (14 / (3 - 4)²) < 0

Мы видим, что производная отрицательна для данного значения x.

4. Значит, на открытом луче (-∞, -3) функция убывает.

б) Теперь перейдем ко второму открытому лучу (-3, +∞). Процедура исследования такая же, как и в предыдущем случае:

1. Найдем производную функции:

y' = (14 / (3 + x)²)

2. Область определения производной также остается той же - x принадлежит (-∞, -3) U (-3, +∞).

3. Определяем знак производной, подставив произвольное значение x из открытого луча (-3, +∞), например, x = 0:

y' = (14 / (3 + 0)²) > 0

Мы видим, что в данном случае производная положительна.

4. Значит, на открытом луче (-3, +∞) функция возрастает.

Теперь перейдем к построению графика функции:

1. Для построения графика нам понадобится представить функцию в виде общей дроби. Раскроем скобки в исходной функции:

y = (2x - 4) / (3 + x)
y = 2x - 4 / 3 + x

2. Приведем функцию к общему знаменателю:

y = (2x - 4)(3 + x) / (3 + x)
y = (6x + 2x² - 12 - 4x) / (3 + x)
y = (2x² + 2x - 12) / (3 + x)

3. Теперь построим график, используя найденные результаты и дополнительные значения:

- Для построения графика, мы можем найти основные точки: точка пересечения с осью ординат и точки пересечения с осью абсцисс.

- Чтобы найти точку пересечения с осью ординат (y = 0), мы приравниваем функцию к нулю и решаем уравнение:

(2x² + 2x - 12) / (3 + x) = 0

2x² + 2x - 12 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы найдем две точки пересечения с осью ординат.

- Чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс (x = 0), мы приравниваем x к нулю и находим соответствующее значение y.

- Также можно добавить несколько других точек, выбрав произвольные значения x и найдя соответствующие значения y.

4. Построим полученные точки на координатной плоскости и проведем гладкую кривую, соединяющую эти точки. Это и будет график исходной функции.

Итак, в результате исследования функции на монотонность мы пришли к выводу:

- На открытом луче (-∞, -3) функция убывает.
- На открытом луче (-3, +∞) функция возрастает.

Создание детального графика лучше производить с использованием графического инструмента, чтобы получить более точный результат, учтите эту функцию в каком - либо графическом приложении или вручную осуществите цифровое представление функции и построить график по координатной сетке.

Я надеюсь, что данное пошаговое решение помогло вам разобраться в исследовании функции на монотонность и построении ее графика. Если у вас возникнут еще вопросы, обращайтесь!