Исследуйте функцию и постройте её график: y=-1/3x^3+4x

Для начала, давайте разберёмся, что значит "исследовать функцию и построить её график".

Исследовать функцию означает найти её основные характеристики, такие как область определения, область значений, поведение функции при изменении аргумента, чётность/нечётность и др.

Построить график функции означает изобразить точки, которые соответствуют значениям функции для различных значений аргумента на координатной плоскости, чтобы наглядно представить, как функция меняется.

Итак, в нашем случае у нас функция y = -1/3x^3 + 4x.

1. Область определения функции:
Для этого нам нужно найти значения x, при которых функция определена.
Поскольку х - переменная, то она может принимать любые реальные значения. То есть, область определения функции - все действительные числа.

2. Область значений функции:
Чтобы найти значения y, необходимо подставить различные значения x в нашу функцию и вычислить y. Мы увидим, какие значения y могут быть получены.
Обратите внимание, что у нас есть две операции - возведение в куб и умножение на 1/3, а затем добавление и умножение на x.
Возведение в куб и умножение на 1/3 даже отрицательного числа сделает его положительным, поэтому все результаты будут положительными.
Если мы возьмём очень большое положительное значение x, то многочлен будет стремиться уходить в бесконечность положительную.
Аналогично если мы возьмём очень большое отрицательное число, то многочлен будет стремиться уходить в бесконечность отрицательную.
Итак, область значений функции - это все положительные и все отрицательные числа и ноль.

3. Поведение функции при изменении аргумента:
Для этого мы рассмотрим различные значения x и вычислим соответствующие значения y.
Например, если мы возьмём x=0, то значение функции будет y = 0.
Если мы возьмём x=1, то значение функции будет y = -1/3*1^3 + 4*1 = -1/3 + 4 = 3 2/3.

4. Чётность/нечётность функции:
Для нашей функции мы можем проверить, является ли она чётной или нечётной, сравнивая f(x) и f(-x).
Выполним эту проверку:
f(-x) = -1/3*(-x)^3 + 4*(-x) = -1/3*(-x)^3 - 4x = -f(x).
Поскольку f(x) = -f(-x), наша функция является нечётной.

5. Построение графика функции:
Теперь, когда у нас есть все характеристики функции, мы можем построить её график на координатной плоскости.
Для этого мы будем использовать значения x и y, которые мы получили при исследовании функции по шагу 3.
Мы возьмём несколько различных значений x, вычислим y и изобразим эти точки на плоскости.
Затем проведём линию через все эти точки, чтобы получить график функции.

Следующие точки мы будем использовать для построения графика:
x = -2, y = -1/3*(-2)^3 + 4*(-2) = -1/3*(-8) - 8 = 8/3 - 8.
x = -1, y = -1/3*(-1)^3 + 4*(-1) = -1/3 - 4 = -13/3.
x = 0, y = -1/3*(0)^3 + 4*(0) = 0.
x = 1, y = -1/3*(1)^3 + 4*(1) = -1/3 + 4 = 11/3.
x = 2, y = -1/3*(2)^3 + 4*(2) = -1/3*8 + 8 = -8/3 + 8.

Построим график:


На графике видно, что функция убывает, затем возрастает. У неё есть точка перегиба при x ≈ -1.2, после которой функция начинает убывать. Также, можно заметить, что график функции симметричен относительно вертикальной оси (ось y), что подтверждает её нечётность.

Надеюсь, мой ответ был понятен и полезен для вас!