Исследуйте функцию f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 12 и постройте её график. найдите количество корней f(x) = a для каждого действительно значения параметра а.

лена363 лена363    1   24.09.2019 17:30    0

Ответы
TanyaMakarova26 TanyaMakarova26  08.10.2020 16:02

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел.

2. Функция не периодическая.

3. Проверим на четность или нечетность функции:

f(-x)=3(-x)^4+4(-x)^3-12(-x)^2+12=-(-3x^4+4x^3+12x^2-12)\ne-f(x)

Функция является ни четной ни нечетной.

4. Точки пересечения с осями координат:

4.1. Точки пересечения с осью абсцисс(y=0).

3x^4+4x^3-12x^2+12=0 - если сможете решить такое уравнение - вперёд! :) (на графику покажу приближенные значения)

4.2. Точки пересечения с осью ординат(x=0):

Раз х=0, то y=12


5. Точки экстремума, возрастание и убывает функции.

f'(x)=(3x^4+4x^3-12x^2+12)'=12x^3+12x^2-24x

Приравниваем теперь производную функции к нулю, имеем:

12x(x^2+x-2)=0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

x_1=0

x_2=-2\\ x_3=1


____-___(-2)___+__(0)__-____(1)___+___

Функция возрастает на промежутке x\in (-2;0) и x\in(1;+\infty), а убывает - x \in (-\infty;-2) и x \in (0;1). Производная функции в точке х=-2 и х=1 меняет знак с (-) на (+), значит точка х=-2 и х=1 являются точками локального минимума. А в точке х=0 производная функции меняет знак с (+) на (-), следовательно, точка х = 0 - локальный максимум.


6. Точки перегиба

f''(x)=(12x^3+12x^2-24x)'=36x^2+24x-24\\ f''(x)=0;~~~ 36x^2+24x-24=0~~|:12\\ 3x^2+2x-2=0\\ D=28\\ \\ x_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{7}}{2}


На промежутке x \in \bigg(-\infty;\dfrac{-1-\sqrt{7}}{2} \bigg) и x \in \bigg(\dfrac{-1+\sqrt{7}}{2} ;+\infty\bigg) функция выпукла вниз, а на промежутке x \in \bigg(\dfrac{-1-\sqrt{7}}{2} ;\dfrac{-1+\sqrt{7}}{2} \bigg) - выпукла вверх.


Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет.


Теперь найдем количество корней f(x)=a для каждого действительно значения параметра а.

f(x)=a - прямая, параллельная оси абсцисс.


При a=-20 уравнение будет иметь один корень.

При a \in (-20;7)\cup(12;+\infty) уравнение имеет два корня.

При a =7,~ a=12 уравнения имеет три корня

При a\in(7;12) уравнение имеет четыре корня.


Исследуйте функцию f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 12 и постройте её график. найдите количество корней
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра