Исследовать функицию на возрастание.убывание.выпуклость.вогнутость 

task/26061653

Исследовать функцию на возрастание.убывание. выпуклость.вогнутость.
y =(2/3)*x³ +5x² -1 .

 1. ООФ: x ∈ (-∞; ∞) 
---
2. y '=  ( (2/3)*x³ +5x² -1 ) ' = ( (2/3)*x³ ) ' +(5x²)' - 1' =(2/3)*(x³)' +5(x²)' +0 =
        = 2x² +10x .
Критические точки : y '= 0  
2x² +10x=0 ;
2x(x+5) =0 ;
[ x = - 5 ; x =0.
y '                     +                                  -                              +
  - 5    0
y  функция возр.( y ↑)    max   убывает(y ↓)   min     возр.( y ↑) 

 Если  производная положительно  функция возрастает ,  а если
производная отрицательно ,функция убывает.

Функция возрастает :  x ∈ ( -∞ ; -5 )  и  x ∈ ( 0 ; ∞ ) . 
Функция убывает :  x ∈ ( - 5 ;  0) .
3. Функция будет  выпуклой ,если  ее вторая производная   y ''(x) ≤ 0
y ''= (y')' =(2x² +10x) ' = 4x +10 =4(x +2,5) .
* * *  x = -2,5_ точка перегиба  * * * 
y '' ≤  0⇔ 4(x +2,5) ≤ 0  ⇒  x ∈ ( - ∞ ;  - 2,5 ] 
Функция будет  выгнутой ,если   y ''(x) ≥ 0  ⇒ x ∈ [ - 2,5 ; ∞) .