Исследовать функцию, y=1/3(x^3−16x^2+69x−54)

1.Область определения функции вся числовая прямая ( Множество действительных чисел
2.Область значения функции вся числовая прямая. Функция непрерывна на всей области определения функции.
3. Найдём промежутки  монотонности и точки экстремума
Для этого найдём производную Она равна 3х²-32х+69
Найдём стационарные точки  1/3(3х²-32х+69)=0
                                                       (3х²-32х+69)=0
                                                     Д=1024-828=196
                                                   х1=(32-14)/6=3
                                                   х2=(32+14)/6=46/6=7 2/3
3х²-32х+69=(х-3)(х-7 2/3)

+3-7 2/3+

Функция возрастает на промежутках (-∞; 3) и (7 2/3; +∞)
Функция убывает на промежутке (3;7 2/3)

В точке х=3 производная меняет знак с "+" на "-" , значит при х=3 функция достигает максимального значения
у=1/3*(3³-16*3²+69*3-54)=9-48+69-18=12
А (3;12) точка максимума
В точке х=7 2/3=23/3 функция меняет знак с "-" на "+"  значит в этой точке функция принимает минимальное значение

у=1/3((23/3)³-16*(23/3)²+69*23/3-54)=12167/81-8464/27+1587/9-54/3=
12167/81-25392/81+14283/81-1458/81=-337/81=-4 13/81
В(7 2/3 ; -4 13/81)  точка минимума

Осталось построить график функции. Можно конечно найти ещё точки перегиба, но для школы это наверное не надо.