Исследовать функцию, кто умеет?

Исследование проводится по следующей примерной схеме:

1) выяснение области определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться 0:

(х² - 4) ≠ 0,  х ≠ +-2.

х ∈ (-∞; -2)∪(-2; 2)∪(2; +∞).

2) решается вопрос о четности или нечетности функции.

f(-

х) =  -x³/(x² - 4) = -f(x), значит, функция нечётная.

3) исследуется периодичность функции - не периодичная.

4) находят точки пересечения кривой с осями координат (нули функции).  х = 0, у = 0

                  у = x³/(x² - 4) = 0,  х = 0.

5) находят точки разрыва функции и определяют их характер.

Точками разрыва второго рода называются точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ или не существует.

Такие точки определены в пункте 1: х = -2 и х = 2.

6) проводят исследования на экстремум, находят экстремальные значения функции.

Находится производная и приравнивается нулю - это критические точки.  y' = (2x²(x² - 12)/((x² - 4)²).

Приравниваем 0 числитель: (2x²(x² - 12) = 0.

Имеем 3 решения: х = 0, х = +√12 = 2√3 и х = -2√3.

Проверяем свойства критических точек по знакам производной левее и правее критической точки

Имеем: х = 0 не экстремум,

            х = - 2√3 это локальный максимум,

            х =  2√3  это локальный минимум.

7) ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой.

Находим вторую производную: y'' = (16x(x² + 12)/((x² - 4)³).

Как видим, она равна 0 только при х = 0

Это одна точка перегиба.

Левее х = -2√3 график выпуклый, правее х = 2√3 - вогнутый.

На промежутке от х = -2√3 до х = 2√3 график меняется с вогнутого на выпуклый в точке х = 0.

8) отыскание асимптот кривой.

Вертикальные асимптоты определились   в пункте 1: х = -2 и х = 2 в точках разрыва функции.

Горизонтальных - нет

Наклонная в виде у = кх  определена по пределу: k = lim(y/x), x⇒∞.

у = 2х.

9) полученные результаты наносят на чертеж и получают график исследуемой функции.