Используя сравнения по модулю, докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения:

Для начала, давайте разберемся, что означает выражение |n-1| - |n+1|. Знаки модуля означают, что нужно взять абсолютное значение разности n и чисел 1 и -1 соответственно.

Выражение |n-1| - |n+1| можно переписать следующим образом:

|n-1| - |n+1| = -|n+1| + |n-1|

Теперь посмотрим на выражение |n + 2| - |n|. Аналогично, это означает, что нужно взять абсолютное значение разности n и чисел -2 и 0 соответственно.

Выражение |n + 2| - |n| можно переписать следующим образом:

|n + 2| - |n| = -|n| + |n + 2|

По условию нам нужно доказать, что для любого натурального числа n эти два выражения равны друг другу:

|n-1| - |n+1| = |n + 2| - |n|

Для доказательства этого сравним значения обоих выражений для произвольного значения n.

Мы можем использовать свойство модуля: |a - b| = |b - a|. Это свойство позволяет нам частично переписать оба выражения следующим образом:

|n+1| - |n-1| = |n| - |n+2|

Теперь рассмотрим два возможных случая: n четное и n нечетное.

1. Если n четное, то n = 2k, где k - некоторое натуральное число. Подставим это значение в оба выражения:

|2k+1| - |2k-1| = |2k| - |2k+2|

Для выражения слева:

|2k+1| - |2k-1| = 2k+1 - (2k-1) = 2

А для выражения справа:

|2k| - |2k+2| = 2k - (2k + 2) = -2

Таким образом, для случая, когда n четное, значение выражений не равны друг другу.

2. Если n нечетное, то n = 2k + 1, где k - некоторое натуральное число. Подставим это значение в оба выражения:

|2k+2| - |2k| = |2k+1| - |2k+2|

Для выражения слева:

|2k+2| - |2k| = (2k+2) - 2k = 2

А для выражения справа:

|2k+1| - |2k+2| = (2k+1) - (2k+2) = -1

Таким образом, для случая, когда n нечетное, значение выражений не равны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального числа n значения выражений |n-1| - |n+1| и |n + 2| - |n| не равны друг другу.