Используя определение предела последовательности, докажите что:
a) lim n стремится к бесконечности 4n+1/5n=4/5
б) lim n стремится к бесконечности 2n-5/3n+7=2/3

марина200008 марина200008    1   22.12.2019 13:50    12

Ответы
пелы пелы  19.01.2024 07:00
Добрый день! Давайте рассмотрим оба задания по очереди.

a) Докажем, что предел последовательности (4n + 1) / (5n) при n стремящемся к бесконечности равен 4/5, используя определение предела последовательности.

Определение предела последовательности гласит, что для любой положительной величины ε существует такое число N, что для всех n > N выполняется неравенство |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε.

Для начала, выполним некоторые алгебраические преобразования, чтобы привести выражение к более удобному виду:

|(4n + 1) / (5n) - 4/5| = |(4n + 1) - (4/5)(5n)| / (5n)
= |(4n + 1) - 4n| / (5n)
= |1| / (5n)
= 1 / (5n)

Теперь, чтобы найти число N, удовлетворяющее условию |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε, мы можем рассмотреть неравенство 1 / (5n) < ε и решить его относительно n.

1 / (5n) < ε
n > 1 / (5ε)

Получили неравенство, которое должно быть выполнено для всех n > N. Таким образом, выбираем N = 1 / (5ε).

Теперь, если мы возьмем любое значение n > N, то мы можем заметить, что:

n > N = 1 / (5ε)
5n > 1 / ε
1 / (5n) < ε

То есть, неравенство |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε будет выполнено для любого значения n > N. Это означает, что предел последовательности (4n + 1) / (5n) при n стремящемся к бесконечности равен 4/5.

b) Докажем, что предел последовательности (2n - 5) / (3n + 7) при n стремящемся к бесконечности равен 2/3, снова используя определение предела последовательности.

Также как в предыдущем случае, нам нужно доказать, что для любой положительной величины ε существует такое число N, что для всех n > N выполняется неравенство |(2n - 5) / (3n + 7) - 2/3| < ε.

Выполнив алгебраические преобразования, у нас получится:

|(2n - 5) / (3n + 7) - 2/3| = |(2n - 5)(3n + 7) - (2/3)(3n + 7)(3n + 7)| / (3n + 7)
= |6n^2 + 14n - 15n - 35 - 2(9n^2 + 42n + 49)| / (3n + 7)
= |-3n^2 - 7n - 35 - 18n^2 - 84n - 98| / (3n + 7)
= |-21n^2 - 91n - 133| / (3n + 7)

Подобно предыдущему случаю, нам нужно решить неравенство:

|-21n^2 - 91n - 133| / (3n + 7) < ε

Но решить его аналитически достаточно сложно. Поэтому воспользуемся свойством арифметических операций пределов последовательностей.

Заметим, что при n стремящемся к бесконечности:
-21n^2 стремится к бесконечности,
-91n стремится к бесконечности,
-133 стремится к -133,
3n стремится к бесконечности,
7 стремится к 7.

Используя свойство арифметических операций пределов последовательностей, когда n стремится к бесконечности, можем записать:

|-21n^2 - 91n - 133| / (3n + 7) = (∞ + ∞ + (-133)) / (∞ + 7)
= (∞ + ∞) / ∞
= 1

Таким образом, независимо от значения ε, неравенство |(2n - 5) / (3n + 7) - 2/3| < ε не выполнится при n стремящемся к бесконечности.

Вывод: предел последовательности (2n - 5) / (3n + 7) при n стремящемся к бесконечности не существует.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра