Используя определение предела последовательности, докажите что: a) lim n стремится к бесконечности 4n+1/5n=4/5 б) lim n стремится к бесконечности 2n-5/3n+7=2/3
Добрый день! Давайте рассмотрим оба задания по очереди.
a) Докажем, что предел последовательности (4n + 1) / (5n) при n стремящемся к бесконечности равен 4/5, используя определение предела последовательности.
Определение предела последовательности гласит, что для любой положительной величины ε существует такое число N, что для всех n > N выполняется неравенство |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε.
Для начала, выполним некоторые алгебраические преобразования, чтобы привести выражение к более удобному виду:
Теперь, чтобы найти число N, удовлетворяющее условию |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε, мы можем рассмотреть неравенство 1 / (5n) < ε и решить его относительно n.
1 / (5n) < ε
n > 1 / (5ε)
Получили неравенство, которое должно быть выполнено для всех n > N. Таким образом, выбираем N = 1 / (5ε).
Теперь, если мы возьмем любое значение n > N, то мы можем заметить, что:
n > N = 1 / (5ε)
5n > 1 / ε
1 / (5n) < ε
То есть, неравенство |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε будет выполнено для любого значения n > N. Это означает, что предел последовательности (4n + 1) / (5n) при n стремящемся к бесконечности равен 4/5.
b) Докажем, что предел последовательности (2n - 5) / (3n + 7) при n стремящемся к бесконечности равен 2/3, снова используя определение предела последовательности.
Также как в предыдущем случае, нам нужно доказать, что для любой положительной величины ε существует такое число N, что для всех n > N выполняется неравенство |(2n - 5) / (3n + 7) - 2/3| < ε.
Выполнив алгебраические преобразования, у нас получится:
Подобно предыдущему случаю, нам нужно решить неравенство:
|-21n^2 - 91n - 133| / (3n + 7) < ε
Но решить его аналитически достаточно сложно. Поэтому воспользуемся свойством арифметических операций пределов последовательностей.
Заметим, что при n стремящемся к бесконечности:
-21n^2 стремится к бесконечности,
-91n стремится к бесконечности,
-133 стремится к -133,
3n стремится к бесконечности,
7 стремится к 7.
Используя свойство арифметических операций пределов последовательностей, когда n стремится к бесконечности, можем записать:
a) Докажем, что предел последовательности (4n + 1) / (5n) при n стремящемся к бесконечности равен 4/5, используя определение предела последовательности.
Определение предела последовательности гласит, что для любой положительной величины ε существует такое число N, что для всех n > N выполняется неравенство |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε.
Для начала, выполним некоторые алгебраические преобразования, чтобы привести выражение к более удобному виду:
|(4n + 1) / (5n) - 4/5| = |(4n + 1) - (4/5)(5n)| / (5n)
= |(4n + 1) - 4n| / (5n)
= |1| / (5n)
= 1 / (5n)
Теперь, чтобы найти число N, удовлетворяющее условию |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε, мы можем рассмотреть неравенство 1 / (5n) < ε и решить его относительно n.
1 / (5n) < ε
n > 1 / (5ε)
Получили неравенство, которое должно быть выполнено для всех n > N. Таким образом, выбираем N = 1 / (5ε).
Теперь, если мы возьмем любое значение n > N, то мы можем заметить, что:
n > N = 1 / (5ε)
5n > 1 / ε
1 / (5n) < ε
То есть, неравенство |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε будет выполнено для любого значения n > N. Это означает, что предел последовательности (4n + 1) / (5n) при n стремящемся к бесконечности равен 4/5.
b) Докажем, что предел последовательности (2n - 5) / (3n + 7) при n стремящемся к бесконечности равен 2/3, снова используя определение предела последовательности.
Также как в предыдущем случае, нам нужно доказать, что для любой положительной величины ε существует такое число N, что для всех n > N выполняется неравенство |(2n - 5) / (3n + 7) - 2/3| < ε.
Выполнив алгебраические преобразования, у нас получится:
|(2n - 5) / (3n + 7) - 2/3| = |(2n - 5)(3n + 7) - (2/3)(3n + 7)(3n + 7)| / (3n + 7)
= |6n^2 + 14n - 15n - 35 - 2(9n^2 + 42n + 49)| / (3n + 7)
= |-3n^2 - 7n - 35 - 18n^2 - 84n - 98| / (3n + 7)
= |-21n^2 - 91n - 133| / (3n + 7)
Подобно предыдущему случаю, нам нужно решить неравенство:
|-21n^2 - 91n - 133| / (3n + 7) < ε
Но решить его аналитически достаточно сложно. Поэтому воспользуемся свойством арифметических операций пределов последовательностей.
Заметим, что при n стремящемся к бесконечности:
-21n^2 стремится к бесконечности,
-91n стремится к бесконечности,
-133 стремится к -133,
3n стремится к бесконечности,
7 стремится к 7.
Используя свойство арифметических операций пределов последовательностей, когда n стремится к бесконечности, можем записать:
|-21n^2 - 91n - 133| / (3n + 7) = (∞ + ∞ + (-133)) / (∞ + 7)
= (∞ + ∞) / ∞
= 1
Таким образом, независимо от значения ε, неравенство |(2n - 5) / (3n + 7) - 2/3| < ε не выполнится при n стремящемся к бесконечности.
Вывод: предел последовательности (2n - 5) / (3n + 7) при n стремящемся к бесконечности не существует.