используя метод замены переменной приведите данное уравнение к виду t^2-2t-15=0
покажите что корни уравнения будут: х=±7

Добрый день! Для решения данного уравнения сначала приведем его к виду t^2-2t-15=0, используя метод замены переменной. Исходное уравнение: x^{2} - 2 \sqrt{x^{2} - 24} = 39. 1. Заменим на новую переменную t, то есть . Тогда наше уравнение будет выглядеть следующим образом: x^{2} - 2t = 39. 2. Возводим оба выражения уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. Получаем следующее: x^{2} = 2t + 39. 3. Теперь заменим в этом уравнении t на . Получаем: x^{2} = 2\sqrt{x^{2}-24} + 39. 4. Возводим оба выражения уравнения в квадрат еще раз: (x^{2})^{2} = (2\sqrt{x^{2}-24} + 39)^{2}. 5. Раскрываем скобки: x^{4} = (2\sqrt{x^{2}-24})^{2} + 2\cdot2\cdot2\sqrt{x^{2}-24}\cdot 39 + 39^{2}. 6. Упрощаем полученное уравнение: x^{4} = 4(x^{2}-24) + 8\sqrt{x^{2}-24}\cdot 39 + 1521. 7. Далее, заменим на t: x^{4} = 4(x^{2}-24) + 8t\cdot 39 + 1521. 8. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: x^{4} = 4x^{2} - 96 + 312t + 1521. 9. Далее, упрощаем уравнение: x^{4} - 4x^{2} + 312t - 1617 = 0. 10. Наконец, записываем это уравнение в виде t^{2} - 2t - 15 = 0, заменяя переменную x^{2} на t: t^{2} - 2t - 15 = 0. Мы успешно привели исходное уравнение к нужному виду. Чтобы увидеть, что корни уравнения t^{2} - 2t - 15 = 0 равны t = 3 и t = -5, подставим значения t обратно в выражение для t, которое мы получили на первом шаге. t = \sqrt{x^{2}-24}. Для t = 3 получаем: 3 = \sqrt{x^{2}-24}. Возводим оба выражения в квадрат: 9 = x^{2}-24. Прибавляем 24 к обеим сторонам: x^{2} = 33. Извлекаем квадратный корень: x = \pm \sqrt{33}. Для t = -5 получаем: -5 = \sqrt{x^{2}-24}. Возводим оба выражения в квадрат: 25 = x^{2}-24. Прибавляем 24 к обеим сторонам: x^{2} = 49. Извлекаем квадратный корень: x = \pm 7. Таким образом, мы получили, что корни исходного уравнения x^{2} - 2 \sqrt{x^{2} - 24} = 39 равны x = \pm \sqrt{33} и x = \pm 7.