(Использование дифференциального исчисления функций одной переменной в практических задачах на экстремум
Задача:
Сечение автомобильного тоннеля имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр сечения 22 м. При какой высоте тоннеля площадь сечения будет наибольшей?

ответ: h=44/(π+4), h≈6,16

Объяснение:Пусть Р-периметр прямоугольника, с крышей полукруга, а - одна сторона прямоугольника, r-радиус полукруга, тогда 2r- вторая сторона прямоугольника

Периметр  Р = πr+ 2r + 2a;

a = (P - r(π+2))/2=(22-πr-2r)/2

Sсеч= S(r) = πr²/2 + 2ar =  πr²/2 + r·(22-πr-2r)=πr²/2 + 22r-πr²-2r²)  

S(r) - зависимость площади сечения от радиуса

S'(r)=  πr+22-2πr-4r =22-πr-4r  

Если S'(r) = 0, то 22-πr-4r=0

r = 22/(4 + π)

Следовательно при данном радиусе площадь сечения будет наибольшей.

Но при данном радиусе r = 22/(4 + π) высота тоннеля h будет равна

h=a+r

a= (22-r(π+2))/2= (22-r(π+2))/2=(22-22(π+2)/(4 + π)

h=a+r=22/(4 + π) +(22-22(π+2)/(4 + π) =44/(π+4)

Если принять π≈3,14, то h≈44/7,14≈6,16

s(r) - зависимость площади сечения от радиуса