Хелпаните Решить примеры:
1. Даны два комплексных числа z1= (12 + 2i ) и z2=(3 – 4i ). Найдите их сумму, разность, произведение и частное.
2. Проверьте правильность следующих утверждений:
а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.
Для проверки возьмите числа: Z1=2i, Z2=-3i
б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.
Для проверки возьмите числа: Z1=-5i, Z2=3i
в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.
Для проверки возьмите числа: Z1=10i
г) Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.
Для проверки возьмите числа: Z1=7i, Z2=3

1. Для решения этой задачи, нам нужно найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел.
* Сумма комплексных чисел находится путем сложения их действительной и мнимой частей по отдельности.
Для данного примера, сумма z1 и z2 будет:
(12 + 2i) + (3 - 4i) = 12 + 3 + 2i - 4i = 15 - 2i
Таким образом, сумма двух комплексных чисел равна 15 - 2i.
* Разность комплексных чисел находится путем вычитания их действительной и мнимой частей по отдельности.
Для данного примера, разность z1 и z2 будет:
(12 + 2i) - (3 - 4i) = 12 - 3 + 2i + 4i = 9 + 6i
Таким образом, разность двух комплексных чисел равна 9 + 6i.
* Произведение комплексных чисел находится путем умножения их действительных и мнимых частей и вычитания произведения второй действительной части и мнимой части из первого произведения и сложения произведений первой действительной и мнимой частей и второй действительной и мнимой частей.
Для данного примера, произведение z1 и z2 будет:
(12 + 2i) * (3 - 4i) = 36 - 48i + 6i - 8i^2 = 36 - 42i + 8 = 44 - 42i
Таким образом, произведение двух комплексных чисел равно 44 - 42i.
* Частное комплексных чисел находится путем деления их действительных и мнимых частей и вычисления их отношения.
Для данного примера, частное z1 и z2 будет:
(12 + 2i) / (3 - 4i)

Чтобы решить это, мы должны сначала умножить числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя, чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе:
((12 + 2i) * (3 + 4i)) / ((3 - 4i) * (3 + 4i))
= (36 + 48i + 6i - 8i^2) / (9 - 12i + 12i - 16i^2)
= (44 + 54i) / (25)
= (44/25) + (54/25)i

Таким образом, частное двух комплексных чисел равно (44/25) + (54/25)i.

2. Для проверки утверждений:
а) Утверждение гласит, что сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.
Для проверки, возьмем числа Z1 = 2i и Z2 = -3i:
Сумма: Z1 + Z2 = 2i + (-3i) = -i
Разность: Z1 - Z2 = 2i - (-3i) = 5i

Оба ответа (-i и 5i) являются чисто мнимыми числами.
Таким образом, утверждение верно.

б) Утверждение гласит, что произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.
Для проверки, возьмем числа Z1 = -5i и Z2 = 3i:
Произведение: Z1 * Z2 = (-5i) * (3i) = -15(i^2) = -15(-1) = 15

Результат (15) является действительным числом.
Таким образом, утверждение верно.

в) Утверждение гласит, что квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.
Для проверки, возьмем число Z1 = 10i:
Квадрат: Z1^2 = (10i)^2 = 100(i^2) = 100(-1) = -100

Результат (-100) является действительным отрицательным числом.
Таким образом, утверждение верно.

г) Утверждение гласит, что произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.
Для проверки, возьмем числа Z1 = 7i и Z2 = 3:
Произведение: Z1 * Z2 = (7i) * (3) = 21i

Результат (21i) является чисто мнимым числом.
Таким образом, утверждение верно.