F(x)=x(x+1) f(1)+f(2)+f(3)++f(33)=?

3 * (f(1) + f(2)) = 3 * (1 * 2 + 2 * 3) = 3 * 2 * (1 + 3) = 2 * 3 * 4
3 * (f(1) + f(2) + f(3)) = 2 * 3 * 4 + 3 * 3 * 4 = 3 * 4 * (2 + 3) = 3 * 4 * 5
3 * (f(1) + ... + f(4)) = 3 * 4 * 5 + 3 * 4 * 5 = 4 * 5 * 6

Докажем по индукции, что 3 * (f(1) + f(2) + ... + f(n)) = n * (n + 1) * (n + 2).

База индукции при n = 1 уже доказана.

Переход: пусть 3 * (f(1) + ... f(k - 1)) = (k - 1) * k * (k + 1). Докажем, что 3 * (f(1) + ... + f(k)) равно тому, чему нужно.

3 * (f(1) + f(2) + ... + f(k - 1) + f(k)) = (k - 1) * k * (k + 1) + 3 * k * (k + 1) = k (k + 1) (k - 1 + 3) = k (k + 1) (k + 2).

По приницпу математической индукции 3 * (f(1) + f(2) + ... + f(n)) = n * (n + 1) (n + 2) при всех n.

f(1) + f(2) + ... + f(33) = 33 * 34 * 35 / 3 = 13090