F(x)=x^3+x^2-5x+4 найти критические точки, промежутки возраст-я и убывания функции и точки экстремума, постройте график этой функции , найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1; 2]

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится несколько действий. Давайте начнем с поиска критических точек, т.е. точек, где производная функции равна нулю или не существует.

1. Найдем производную функции F(x):
F'(x) = 3x^2 + 2x - 5

2. Поставим производную равной нулю и найдем решение уравнения:
3x^2 + 2x - 5 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного уравнения или графически. Воспользуемся квадратным уравнением:

a = 3, b = 2, c = -5

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 3 * (-5) = 4 + 60 = 64

Так как дискриминант D больше нуля, у уравнения есть два различных вещественных корня.

x = (-b + √D) / (2a) = (-2 + √64) / (2 * 3) = (-2 + 8) / 6 = 6 / 6 = 1

x = (-b - √D) / (2a) = (-2 - √64) / (2 * 3) = (-2 - 8) / 6 = -10 / 6 = -5/3

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 1 и x = -5/3.

3. Теперь найдем промежутки возрастания и убывания функции F(x) в зависимости от знака производной на этих промежутках.

Возьмем произвольную точку слева от x = -5/3, к примеру, x = -2:
F'(-2) = 3*(-2)^2 + 2*(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3 > 0
Значит, функция возрастает на промежутке (-∞, -5/3).

Теперь возьмем точку между x = -5/3 и x = 1, к примеру, x = 0:
F'(0) = 3*0^2 + 2*0 - 5 = -5 < 0
Значит, функция убывает на промежутке (-5/3, 1).

Наконец, возьмем точку справа от x = 1, к примеру, x = 2:
F'(2) = 3*2^2 + 2*2 - 5 = 12 + 4 - 5 = 11 > 0
Значит, функция возрастает на промежутке (1, ∞).

4. Найдем точки экстремума, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Мы уже нашли критические точки, а именно x = 1 и x = -5/3. Проверим эти точки.

F'(1) = 3*1^2 + 2*1 - 5 = 3 + 2 - 5 = 0.
Значит, у нас есть точка экстремума при x = 1.

F'(-5/3) = 3*(-5/3)^2 + 2*(-5/3) - 5 = 25/3 - 10/3 - 5 = 25/3 - 30/3 - 5 = -10/3.
Значит, у нас есть точка экстремума при x = -5/3.

5. Построим график функции F(x).

Чтобы построить график функции, нам нужно знать ее поведение на промежутках и точках экстремума. У нас есть следующая информация:

- Функция возрастает на промежутке (-∞, -5/3).
- Функция убывает на промежутке (-5/3, 1).
- Функция возрастает на промежутке (1, ∞).
- У нас есть точка экстремума при x = 1 (минимум) и x = -5/3 (максимум).

Мы также можем найти значение функции в этих точках экстремума:

F(1) = 1^3 + 1^2 - 5*1 + 4 = 1 + 1 - 5 + 4 = 1.
Значит, минимальное значение функции равно 1 при x = 1.

F(-5/3) = (-5/3)^3 + (-5/3)^2 - 5*(-5/3) + 4 = -125/27 + 25/9 + 25/3 + 4 = -125/27 + 75/27 + 225/27 + 4 = 179/27.
Значит, максимальное значение функции равно 179/27 при x = -5/3.

На основе этой информации мы можем построить график функции F(x).

6. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1, 2].

Для этого нам нужно найти значения функции на концах отрезка [1, 2] и сравнить их.

F(1) = 1,
F(2) = 2^3 + 2^2 - 5*2 + 4 = 8 + 4 - 10 + 4 = 6.

Значит, наименьшее значение функции на отрезке [1, 2] равно 1, а наибольшее значение равно 6.

Вот и все. Мы нашли критические точки, промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума и значения функции на отрезке [1, 2].