Если tgх=4/3, а tgy=1/4, найдите tg(х+y)

Объяснение:

tg x*tg y = 1/3

{ sin x*sin y = 1/4

Преобразуем так

{ sin x/cos x*sin y/cos y = (sin x*sin y)/(cos x*cos y) = 1/3

{ sin x*sin y = 1/4

Отсюда

{ sin x*sin y = 1/4

{ cos x*cos y = ( sin x*sin y ) / (1/3) = (1/4) / (1/3) = 3/4

При этом мы знаем, что sin^2 y + cos^2 y = 1; cos y = √(1 - sin^2 y)

sin y = 1/(4sin x); cos y = √(1 - 1/(16sin^2 x)) = √(16sin^2 x - 1) / (4sin x)

Подставляем во 2 уравнение

cos x* √(16sin^2 x - 1) / (4sin x) = 3/4

Умножаем все на 4

tg x* √(16sin^2 x - 1) = 3

√(16sin^2 x - 1) = 3/tg x = 3ctg x

16sin^2 x = 1 + 9ctg^2 x

Есть формула

sin^2 a = 1/(1 + ctg^2 a)

Подставляем

16 / (1 + ctg^2 x) = 1 + 9ctg^2 x

16 = (1 + 9ctg^2 x)(1 + ctg^2 x)

Замена ctg^2 x = t >= 0 при любом х

16 = (1 + 9t)(1 + t) = 1 + 10t + 9t^2

9t^2 + 10t - 15 = 0

D/4 = 5^2 - 9(-15) = 25 + 135 = 160 = (4√10)^2

t1 = (-5 - 4√10)/9 < 0

t2 = (-5 + 4√10)/9 = ctg^2 x

1 + ctg^2 x = 1 + (4√10 - 5)/9 = (9 + 4√10 - 5)/9 = (4√10 + 4)/9

sin^2 x = 1/(1+ctg^2 x) = 9/(4(√10+1)) = 9(√10-1)/(4(10-1)) = (√10-1)/4

sin x = √(√10 - 1) / 2

x = (-1)^n*arcsin [ √(√10 - 1) / 2 ] + pi*n

sin y = 1/(4sin x) = 2/(4√(√10 - 1)) = 1/(2√(√10 - 1)) = √(√10 - 1)/(2(√10 - 1))

y = (-1)^n*arcsin [ √(√10 - 1)/(2(√10 - 1)) ] + pi*n

решение смотри на фотографии