Два непропорциональных кубических многочлена с целыми коэффициентами имеют общий иррациональный корень. Докажите, что у них есть еще один общий корень

Ответы

Эрюсик 15.10.2020 16:26

Поскольку, любое уравнение можно поделить на его старший коэффициент, то будем считать, для удобства, что мы рассматриваем два приведенных кубических уравнения с рациональными коэффициентами.

$x^3+ax^2+bx+c = 0\\x^3+mx^2+nx+k=0$ , a,b,c,m,n,k - рациональные числа.

Поскольку, данные уравнения имеют общий корень, то уравнение, являющееся их разностью, тоже содержит этот корень:

(m-a)x^2+(n-b)x+(k-c) = 0 , поскольку коэффициенты уравнений непропорциональны, то все коэффициенты полученного квадратного уравнения ненулевые.

А значит, данный общий иррациональный корень принимает вид : $p+-\sqrt{q}$ , где p,q - рациональные числа, при этом не полный квадрат, отсюда в частности $q\neq 0$ .

Попробуем показать, что если $p+\sqrt{q}$ корень уравнения

x^3+ax^2+bx+c = 0 , то и $p-\sqrt{q}$ корень данного уравнения , и наоборот. Сделаем некоторое упрощение.

Если число $p+-\sqrt{q}$ является корнем данного уравнения , то сделаем замену: x-p=t , тогда после раскрытия скобок данное уравнение так же будет с рациональными коэффициентами и будет иметь корень $t=+-\sqrt{q}$

Такое уравнение примет вид :

f(t)=t^3+ut^2+vt+g=0 , u,v,g - рациональные числа.

Учитывая, что $f(\sqrt{q} ) = 0$

$q\sqrt{q} +uq+v\sqrt{q} +g=0\\\sqrt{q} (q+v) = -g-uq$

Предположим, что $q+v\neq 0$ , но тогда , учитывая, что - не полный квадрат, то левая часть равенства иррациональна, а правая рациональна, что невозможно. То есть мы пришли к противоречию, а значит : q+v=g+uq=0