Доведіть , що при всіх натуральних значеннях n значення виразу : 11∙32n + 10 ∙2n кратне 7.

Добрый день! Рассмотрим данный выражение и докажем, что оно кратно 7 для всех натуральных значений n.

Для начала, нам нужно выразить данное выражение в более удобной форме, чтобы произвести доказательство. Раскроем скобки:

11∙32n + 10∙2n = 11∙3^n + 10∙(2)^n

Обратим внимание, что второе слагаемое 10∙(2)^n является произведением 10 и степени числа 2. Мы знаем, что произведение числа, кратного 7, на любое другое число также будет кратно 7. Таким образом, нам пригодится свойство кратности числа 7:

Если a кратно 7, то для любого целого числа b произведение a∙b также будет кратно 7.

Используя это свойство, мы можем заметить, что второе слагаемое 10∙(2)^n кратно 7, так как 10 кратно 7 по самому свойству, а произведение кратного числа на другое число также будет кратным.

Теперь осталось доказать, что первое слагаемое 11∙3^n также кратно 7 для всех натуральных значений n.

Для доказательства этого факта, воспользуемся методом математической индукции. Этот метод применяется для доказательства формул и утверждений для всех натуральных значений n.

1) Базисный шаг: Проверим верность утверждения при n = 1.

Подставим n = 1 в выражение 11∙3^n + 10∙2^n:

11∙3^1 + 10∙2^1 = 11∙3 + 10∙2 = 33 + 20 = 53

Получили число 53. Теперь проверим, является ли оно кратным 7. Для этого разделим 53 на 7:

53 ÷ 7 = 7, остаток 4

Остаток от деления равен 4, что означает, что число 53 не делится на 7 без остатка. Таким образом, для n = 1 данное утверждение не верно.

2) Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального k, то есть 11∙3^k + 10∙2^k кратно 7.

3) Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно для n = k + 1, то есть 11∙3^(k+1) + 10∙2^(k+1) также кратно 7.

Подставим n = k + 1 в выражение 11∙3^n + 10∙2^n:

11∙3^(k+1) + 10∙2^(k+1) = 11∙3∙3^k + 10∙2∙2^k = 33∙3^k + 20∙2^k

Теперь перепишем это выражение через предположение индукции:

33∙3^k + 20∙2^k = (21∙3 + 12)∙3^k + 20∙2^k = 21∙3^(k+1) + 12∙3^k + 20∙2^k

Обратим внимание, что последние два слагаемых 12∙3^k + 20∙2^k кратны 7, так как оба слагаемых являются произведением числа, кратного 7, на другое число. Аналогично предыдущему рассуждению, если одно из слагаемых кратно 7, их сумма тоже будет кратна 7.

Таким образом, мы получили выражение 21∙3^(k+1), которое является произведением числа, кратного 7, на другое число. Следовательно, это выражение тоже кратно 7.

Итак, мы доказали, что утверждение верно для n = k + 1 при условии, что оно верно для n = k.

Таким образом, используя метод математической индукции и свойство кратности числа 7, мы можем сделать вывод, что для всех натуральных значений n выражение 11∙3^n + 10∙2^n кратно 7.