Дослідİть функцiю y=x^3+3x^2

1. Знайдемо точки перетину функції з віссю Ox, тобто коли y = 0:

  x^3 + 3x^2 = 0

  x^2(x + 3) = 0

  Отримуємо дві точки перетину: x = 0 і x = -3.

2. Дослідимо знак функції y = x^3 + 3x^2 на інтервалах, утворених точками перетину:

  a) Для x < -3:

     Виберемо, наприклад, x = -4. Підставимо його в функцію:

     y = (-4)^3 + 3(-4)^2

       = -64 + 48

       = -16

     Отже, на інтервалі (-∞, -3), функція приймає від'ємні значення.

  b) Для -3 < x < 0:

     Виберемо, наприклад, x = -2. Підставимо його в функцію:

     y = (-2)^3 + 3(-2)^2

       = -8 + 12

       = 4

     Отже, на інтервалі (-3, 0), функція приймає додатні значення.

  c) Для x > 0:

     Виберемо, наприклад, x = 1. Підставимо його в функцію:

     y = 1^3 + 3(1)^2

       = 1 + 3

       = 4

     Отже, на інтервалі (0, +∞), функція також приймає додатні значення.

3. Знайдемо точку екстремуму функції, де можливо змінюється її напрямок. Для цього обчислимо похідну функції:

  y' = 3x^2 + 6x

  Покладемо похідну рівну нулю і розв'яжемо рівняння:

  3x^2 + 6x = 0

  3x(x + 2) = 0

  Отримуємо дві точки: x = 0 і x = -2.

  a) При x = 0:

     Підставимо x = 0 у функцію:

     y = 0^3 + 3(0)^2

       = 0

     Отже, точка (0, 0) є можливою точкою екстремуму.

b) При x = -2:

     Підставимо x = -2 у функцію:

     y = (-2)^3 + 3(-2)^2

       = -8 + 12

       = 4

     Отже, точка (-2, 4) також є можливою точкою екстремуму.

4. Дослідження меж функції:

  З вищеперерахованих досліджень видно, що функція не має верхньої або нижньої межі, адже як x прямує до плюс нескінченності або мінус нескінченності, значення функції також буде рости або спадати.

5. Дослідження поведінки функції на відкритих інтервалах:

  З досліджень пункту 2 видно, що функція є додатною на інтервалах (-3, 0) і (0, +∞), а від'ємною на інтервалі (-∞, -3). Вона має можливі точки екстремуму (0, 0) і (-2, 4).

Таким чином, функція y = x^3 + 3x^2 має точки перетину з віссю Ox в точках (0, 0) і (-3, 0), можливі точки екстремуму в точках (0, 0) і (-2, 4), і змінює знак з від'ємного на додатній на інтервалах (-3, 0) і (0, +∞).