Докажите неравенство x^2+9y^4+1 ≥ -3xy^2-x+3y^2

Для начала, давайте решим данное неравенство пошагово.

Шаг 1: Перенесите все слагаемые в левую часть неравенства:
x^2 + 9y^4 + 1 + 3xy^2 + x - 3y^2 ≥ 0

Шаг 2: Сгруппируйте слагаемые:
x^2 + 3xy^2 + x + 9y^4 - 3y^2 + 1 ≥ 0

Шаг 3: Объедините подобные слагаемые:
x^2 + x + 3xy^2 - 3y^2 + 9y^4 + 1 ≥ 0

Шаг 4: Раскройте скобки и объедините подобные слагаемые:
9y^4 + 3xy^2 - 3y^2 + x^2 + x + 1 ≥ 0

Шаг 5: Рассмотрим каждое слагаемое отдельно и посмотрим, какое условие оно накладывает на переменные x и y.

- 9y^4: У данного слагаемого нет ограничений, так как y^4 всегда неотрицательное.
- 3xy^2: У данного слагаемого нет ограничений, так как x и y могут быть любыми значениями.
- -3y^2: У данного слагаемого нет ограничений, так как y^2 всегда неотрицательное.
- x^2: Данное слагаемое также не накладывает ограничений на x, так как x^2 всегда неотрицательное.
- x: У данного слагаемого нет ограничений.
- 1: Также нет ограничений на данное слагаемое.

Итак, неравенство x^2 + 9y^4 + 1 ≥ -3xy^2 - x + 3y^2 верно для всех значений переменных x и y, так как значение выражения неотрицательное при любых значениях x и y.

Таким образом, мы доказали неравенство.