Докажите неравенство:
а) (x – 2)2 > x(x – 4); б) a2 + 1 ≥ 2(3a – 4).
2. Известно, что а < b. Сравните:
а) 21а и 21b; б) –3,2а и –3,2b; в) 1,5b и 1,5а.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3. Известно, что 2,6 < < 2,7. Оцените:
а) 2 ; б) – .
4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 2,6 < а < 2,7, 1,2 < b < 1,3.
5. К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и то же число а. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.
В а р и а н т 2
1. Докажите неравенство:
а) (x + 7)2 > x(x + 14); б) b2 + 5 ≥ 10(b – 2).
2. Известно, что а > b. Сравните:
а) 18а и 18b; б) –6,7а и –6,7b; в) –3,7b и –3,7а.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3. Известно, что 3,1 « 3,2. Оцените:
а) 3 ; б) – .
4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 1,5 < а < 1,6, 3,2 < b < 3,3.
5. Даны четыре последовательных натуральных числа. Сравните произведение первого и последнего из них с произведением двух средних чисел.

1. Докажем неравенство (x – 2)^2 > x(x – 4):

Раскроем квадрат и приведем подобные слагаемые:
(x^2 - 4x + 4) > (x^2 - 4x)

Сократим общие слагаемые:
4 > 0

Так как 4 - положительное число, то неравенство выполняется для любого значения x.

Докажем неравенство a^2 + 1 ≥ 2(3a – 4):

Раскроем скобки:
a^2 + 1 ≥ 6a - 8

Перенесем все слагаемые на одну сторону:
a^2 - 6a + 9 ≥ 0

Разложим квадратный трехчлен на множители:
(a - 3)^2 ≥ 0

Так как квадрат любого числа неотрицательный, то данное неравенство выполняется для любого значения a.

2. Учитывая, что а < b:

а) Умножение на положительное число (21) не меняет порядок чисел, поэтому 21а < 21b.

б) Умножение на отрицательное число (-3,2) меняет порядок чисел на противоположный, поэтому -3,2а > -3,2b.

в) Так как 1,5 положительное число, умножение на него не меняет порядок чисел, поэтому 1,5b > 1,5а.

3. Оценим значения:

а) Так как 2,6 < 2 < 2,7, то 2 < 2,6 < 2,7.

б) Так как 2,6 < 2,7, то -2,7 < -2,6.

4. Оценим периметр и площадь прямоугольника:

Построим таблицу для каждой стороны:

| сторона | минимальное значение | максимальное значение |
|--------------|--------------------------|--------------------------|
| а | 2,6 | 2,7 |
| b | 1,2 | 1,3 |

Периметр прямоугольника равен: P = 2a + 2b.
Подставим минимальные и максимальные значения:
P(мин) = 2 * 2,6 + 2 * 1,2 = 5,2 + 2,4 = 7,6
P(макс) = 2 * 2,7 + 2 * 1,3 = 5,4 + 2,6 = 8

Площадь прямоугольника равна: S = a * b.
Подставим минимальные и максимальные значения:
S(мин) = 2,6 * 1,2 = 3,12
S(макс) = 2,7 * 1,3 = 3,51

5. Пусть каждому числу 2, 3, 4 и 5 прибавили число а:

Первая последовательность: 2 + а, 3 + а, 4 + а, 5 + а
Вторая последовательность: 2, 3, 4, 5

Произведение крайних членов первой последовательности:
(2 + а) * (5 + а) = 10 + 7а + а^2

Произведение средних членов первой последовательности:
(3 + а) * (4 + а) = 12 + 7а + а^2

Так как а^2 - а^2 = 0, то это слагаемое не влияет на сравнение.

Теперь мы видим, что оба произведения равны.