Докажите, используя принцип математической индукции, что для любого натурального числа n верно равенство: Решите

Добрый день, я готов выступить в роли школьного учителя и решить вашу задачу!

Чтобы доказать это равенство, мы воспользуемся принципом математической индукции. Принцип математической индукции используется для доказательства утверждений, которые зависят от натурального числа n.

Шаг 1: База индукции
В базе индукции мы проверяем, выполняется ли равенство для наименьшего значения n, то есть n = 1.
Подставим n = 1 в данное равенство:
(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + n^2) = (n*(n+1)*(2n+1))/6
(1^2) = (1*(1+1)*(2*1+1))/6
1 = (1*2*3)/6
1 = 6/6
1 = 1

Таким образом, равенство выполняется при n = 1.

Шаг 2: Предположение индукции
Мы предполагаем, что равенство выполняется для некоторого числа k, то есть предполагаем, что (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + k^2) = (k*(k+1)*(2k+1))/6.

Шаг 3: Индукционный переход
Мы должны доказать, что если равенство выполняется для числа k, то оно также выполняется для k + 1.
Подставим n = k + 1 в данное равенство:
(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + k^2 + (k + 1)^2) = (k + 1)*((k + 1) + 1)*(2(k + 1) + 1))/6
(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + k^2 + (k + 1)^2) = (k + 1)*(k + 2)*(2k + 3))/6

Мы можем заметить, что левая часть равенства (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + k^2 + (k + 1)^2) соответствует сумме первых (k + 1) квадратов, а правая часть равенства ((k + 1)*(k + 2)*(2k + 3))/6 соответствует формуле для суммы первых (k + 1) квадратов.

По нашему предположению индукции, левая часть равенства равна ((k*(k+1)*(2k+1))/6 + (k + 1)^2) = ((k*(k+1)*(2k+1) + 6(k + 1)^2))/6.

Теперь мы можем преобразовать это равенство:
((k*(k+1)*(2k+1) + 6(k + 1)^2))/6 = ((k + 1)*((k*(2k+1))/6 + 6(k + 1)))/6 = ((k + 1)*((k*(2k+1) + 36(k + 1)))/6.

Таким образом, мы получаем: ((k + 1)*((k*(2k+1) + 36(k + 1)))/6 = (k + 1)*(k + 2)*(2k + 3))/6.

Таким образом, равенство выполняется для n = k + 1.

Шаг 4: Заключение
Мы доказали, что используя принцип математической индукции, для любого натурального числа n выполняется равенство (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + n^2) = (n*(n+1)*(2n+1))/6.

Я надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять решение данной задачи! Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.