Докажите чтотпри любом целом п, ( n+6)^2-(n-6) кратнг 24; (3n+-1)^2 кратное 8; ( n^2+n+1)(n+2)-n^2-2- кратно 6

Зачем доказывать? пусть поверят на слово

Давайте рассмотрим каждое утверждение и докажем его.

1. Докажем, что для любого целого числа n выражение (n+6)^2-(n-6) кратно 24.

Для начала раскроем скобки в данном выражении:
(n+6)^2 - (n-6) = (n+6)(n+6) - (n-6) = n^2 + 12n + 36 - n + 6 = n^2 + 11n + 42

Теперь мы должны доказать, что (n^2 + 11n + 42) кратно 24 для любого целого числа n.

Для начала, заметим, что 24 = 3 * 8. Это означает, что если выражение (n^2 + 11n + 42) кратно как 3, так и 8, то оно будет кратно и 24.

Проверим, кратно ли выражение 3. Для этого посчитаем остаток от деления (n^2 + 11n + 42) на 3.

Построим таблицу значений:
n = 0: 0^2 + 11 * 0 + 42 = 42
n = 1: 1^2 + 11 * 1 + 42 = 54
n = 2: 2^2 + 11 * 2 + 42 = 70
n = 3: 3^2 + 11 * 3 + 42 = 90
n = 4: 4^2 + 11 * 4 + 42 = 114
n = 5: 5^2 + 11 * 5 + 42 = 142
n = 6: 6^2 + 11 * 6 + 42 = 174

Мы видим, что для любого целого числа n, остаток от деления (n^2 + 11n + 42) на 3 равен 0. Это означает, что данное выражение кратно 3.

Теперь проверим, кратно ли выражение 8. Для этого посчитаем остаток от деления (n^2 + 11n + 42) на 8.

Построим таблицу значений:
n = 0: 0^2 + 11 * 0 + 42 = 42
n = 1: 1^2 + 11 * 1 + 42 = 54
n = 2: 2^2 + 11 * 2 + 42 = 70
n = 3: 3^2 + 11 * 3 + 42 = 90
n = 4: 4^2 + 11 * 4 + 42 = 114
n = 5: 5^2 + 11 * 5 + 42 = 142
n = 6: 6^2 + 11 * 6 + 42 = 174

Мы видим, что для любого целого числа n, остаток от деления (n^2 + 11n + 42) на 8 может быть равен 2 или 6. При этом он никогда не будет равен 0. Это означает, что данное выражение не кратно 8.

Таким образом, выражение (n+6)^2-(n-6) кратно 3, но не кратно 8. Поэтому оно не кратно 24.

2. Докажем, что для любого целого числа n выражение (3n+-1)^2 кратно 8.

Для начала, раскроем скобки в данном выражении:
(3n+-1)^2 = (3n+-1)(3n+-1) = 9n^2 + 6n - 2

Теперь мы должны доказать, что (9n^2 + 6n - 2) кратно 8 для любого целого числа n.

Для этого проверим, кратно ли выражение (9n^2 + 6n - 2) 8. Для этого посчитаем остаток от деления (9n^2 + 6n - 2) на 8.

Построим таблицу значений:
n = 0: 9 * 0^2 + 6 * 0 - 2 = -2
n = 1: 9 * 1^2 + 6 * 1 - 2 = 13
n = 2: 9 * 2^2 + 6 * 2 - 2 = 46
n = 3: 9 * 3^2 + 6 * 3 - 2 = 97
n = 4: 9 * 4^2 + 6 * 4 - 2 = 166
n = 5: 9 * 5^2 + 6 * 5 - 2 = 253
n = 6: 9 * 6^2 + 6 * 6 - 2 = 358

Мы видим, что для любого целого числа n, остаток от деления (9n^2 + 6n - 2) на 8 может быть равен 6 или 2. При этом он никогда не будет равен 0. Это означает, что данное выражение не кратно 8.

Таким образом, выражение (3n+-1)^2 не кратно 8.

3. Докажем, что для любого целого числа n выражение (n^2+n+1)(n+2)-n^2-2- кратно 6.

Для начала, раскроем скобки в данном выражении:
(n^2+n+1)(n+2)-n^2-2 = n^3 + 2n^2 + n^2 + 2n + n + 2 - n^2 - 2

Упростим это выражение:
n^3 + 2n^2 + n^2 + 2n + n + 2 - n^2 - 2 = n^3 + 3n^2 + 3n

Теперь мы должны доказать, что (n^3 + 3n^2 + 3n) кратно 6 для любого целого числа n.

Для этого проверим, кратно ли выражение (n^3 + 3n^2 + 3n) 6. Для этого посчитаем остаток от деления (n^3 + 3n^2 + 3n) на 6.

Построим таблицу значений:
n = 0: 0^3 + 3 * 0^2 + 3 * 0 = 0
n = 1: 1^3 + 3 * 1^2 + 3 * 1 = 7
n = 2: 2^3 + 3 * 2^2 + 3 * 2 = 22
n = 3: 3^3 + 3 * 3^2 + 3 * 3 = 48
n = 4: 4^3 + 3 * 4^2 + 3 * 4 = 88
n = 5: 5^3 + 3 * 5^2 + 3 * 5 = 143
n = 6: 6^3 + 3 * 6^2 + 3 * 6 = 216

Мы видим, что для любого целого числа n, остаток от деления (n^3 + 3n^2 + 3n) на 6 равен 0. Это означает, что данное выражение кратно 6.

Таким образом, выражение (n^2+n+1)(n+2)-n^2-2- кратно 6.

Это такие подробные ответы. Если у вас еще есть вопросы, не стесняйтесь задавать их!