Докажите, что значение выражения 6/(1-ѵ7)-2/(ѵ7+3) является целым числом

Хорошо, давайте разберемся вместе!

Для доказательства того, что данное выражение является целым числом, мы можем показать, что его значение является рациональным числом, а затем доказать, что это рациональное число также является целым числом.

Первым шагом будет нахождение значения данного выражения. Для этого мы можем использовать метод рационализации знаменателей.

1. Рационализация знаменателей:
Для начала, умножим первый знаменатель (1 – ѵ7) на его конъюгат, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
(1 – ѵ7) * (1 + ѵ7) = 1 - ѵ^2*7 = 1 - 7 = -6.
Теперь мы можем переписать выражение в следующем виде:
6 / (-6) - 2 / (ѵ7 + 3).

2. Упростим выражение:
6 / (-6) - 2 / (ѵ7 + 3) = -1 - 2 / (ѵ7 + 3).

3. Обратите внимание, что значение выражения -1 и рациональное число 2 / (ѵ7 + 3) оба являются рациональными числами.

4. Теперь нам нужно доказать, что рациональное число 2 / (ѵ7 + 3) является целым числом. Для этого мы можем привести знаменатель к виду, где у нас не будет радикалов:

ѵ7 + 3 = 1 / (ѵ7 + 3).

Теперь мы можем выразить 2 / (ѵ7 + 3) как 2 * (1 / (ѵ7 + 3)), что равно 2 / (1 / (ѵ7 + 3)), что соответствует 2 * (ѵ7 + 3).

Таким образом, мы можем переписать исходное выражение как -1 - 2 * (ѵ7 + 3).

5. Мы можем упростить выражение, раскрыв скобки:
-1 - 2 * (ѵ7 + 3) = -1 - 2ѵ7 - 6 = -7 - 2ѵ7.

6. Теперь давайте рассмотрим выражение -7 - 2ѵ7.

7. Чтобы доказать, что это рациональное число, исследуем корни уравнения вида a + bѵ, где a и b - рациональные числа. Такие корни будут сопряженными в силу свойства иррациональных чисел.

Предположим, что есть некоторый рациональный a и b, такой что -7 - 2ѵ7 = a + bѵ7.

8. Теперь сравним действительные и мнимые части с обеих сторон равенства:
-7 = a и -2 = b.

Для этого необходимо, чтобы выполнялась система уравнений:
a = -7
b = -2

9. Решим данную систему уравнений:

Подставим a = -7 в первое уравнение:
a = -7
-7 = -7 (верно)

Теперь подставим b = -2 во второе уравнение:
b = -2
-2 = -2 (верно)

Система уравнений имеет единственное решение: a = -7 и b = -2.

10. Таким образом, мы доказали, что -7 - 2ѵ7 является рациональным числом.

Чтобы заключить, мы доказали, что исходное выражение 6 / (1 - ѵ7) - 2 / (ѵ7 + 3) является рациональным числом, так как оно может быть записано как сумма двух рациональных чисел: -1 и -7 - 2ѵ7.

Следовательно, значение данного выражения является целым числом.