Докажите, что выражение (x-4y)(x-4y-8)+16 принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.

Для доказательства данного утверждения, нам необходимо преобразовать выражение и показать, что оно всегда будет неотрицательным.

Исходное выражение: (x - 4y)(x - 4y - 8) + 16

Шаг 1: Раскрываем скобки:
(x - 4y)(x - 4y - 8) + 16 = (x - 4y)(x) + (x - 4y)(-4y - 8) + 16

Шаг 2: Раскрываем вторые скобки:
(x - 4y)(x) + (x - 4y)(-4y - 8) + 16 = x^2 - 4xy - 4yx + 16y^2 - 8x - 32y + 16

Шаг 3: Упрощаем и объединяем подобные элементы:
x^2 - 8xy + 16y^2 - 8x - 32y + 16

Шаг 4: Факторизуем полученное упрощенное выражение:
(x^2 - 8xy + 16y^2) - 8(x - 4y) + 16

Выше мы выделили три отдельных члена: квадратичное выражение в первых скобках, линейное выражение во вторых скобках и константу в последней скобке.

Шаг 5: Перепишем квадратичное выражение в виде квадрата суммы:
(x - 4y)^2 - 8(x - 4y) + 16

Шаг 6: Применим формулу для разности квадратов:
((x - 4y) - 4)^2 - 8(x - 4y) + 16

Шаг 7: Упрощаем полученное выражение:
(x - 4y - 4)^2 - 8(x - 4y) + 16

Теперь мы имеем выражение в виде квадрата суммы и оно показывает, что значение является неотрицательным, так как квадрат любого числа всегда неотрицательный.

Таким образом, мы доказали, что выражение (x-4y)(x-4y-8) + 16 принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.