Докажите, что возрастающая или убывающая функция приобретает каждого своего значения только в одной точке ее области определения.
Доведіть, що зростаюча або спадна функція набуває кожного свого значення тільки в одній точці її області визначення.

Ответы

askarova645 23.11.2020 11:10

Пусть функция y=f(x) возрастает на всей области определения.

Предположим, что для некоторых значений аргумента x=a_1 и x=a_2 выполняется соотношение f(a_1)=f(a_2) . Рассмотрим три ситуации:

1. a_1 - но по определению возрастающей функции меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: f(a_1) - противоречие вышеприведенному равенству значений функции

2. a_1=a_2 - две точки равны между собой, значит и значения функции в них также равны, вышеприведенное равенство выполняется

3. a_1a_2 - аналогично, по определению возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции: f(a_1)f(a_2) - противоречие вышеприведенному равенству значений функции

Таким образом, при любых $a_1\neq a_2$ не может выполняться равенство f(a_1)=f(a_2) . Это означает, что возрастающая функция не может принимать одно и то же значение в двух различных точках. Или по другому, возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке.

Для убывающей функции доказательство аналогичное с той лишь разницей, что случаю a_1 соответствует условие f(a_1)f(a_2) , а случаю a_1a_2 - условие f(a_1) . Но опять же, разным значениям аргумента не могут соответствовать равные значения функции.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра