Докажите что при любых a,b,c уравнение имеет 2 решения или не имеет их вообще. x^4+(2a+1-b^2)x^3+ax^2+|c-|a|^b |*x+|c+|b|^a |+1=0

Ответы

ARISKA2006 08.07.2020 11:56

Положим что корни уравнения равны    $x_{1};x_{2};x_{3} ; x_{4}$
Тогда их сумма равна $-\sqrt{2a+1-b^2}$ это
   $x^4+\sqrt{2a+1-b^2}x^3+ax^2-(c+|b|^a)x+|c-|a|^b|+1=0 \\\\
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\sqrt{2a+1-b^2}\\
x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=a\\
x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4} + x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=|c+|a|^b|\\
x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=|c-|b|^a|+1\\\\ 
 
$
Заметим что сумма корней отрицательное число , а произведение корней всегда положительное число , значит
Либо два корня отрицательны , либо все корни отрицательны
$x_{1},x_{2} , x_{3},x_{4} \neq 0\\\\
$
Рассмотрим второй случаи
Если    $x_{1},x_{2}<0\\
$ без потери общности можно взять $x_{3}x_{4}0$
Из первого $b \in [-\sqrt{2a+1};\sqrt{2a+1} ] \\
 a-\frac{1}{2}$
Из третьего так как произведение всех корней отрицательно , значит сумма    S<0

, но это не верно , так как стоит модуль , значит четыре корня не может быть.
Второй случаи , возможен , но не всегда
$x_{1};x_{2}<0\\
$ по второму условию следует что