Докажите, что при любом значении х верно неравенство 6у^2-5у+10>-у^2+5у+3

Для доказательства данного неравенства, мы будем использовать принцип работы с неравенствами, где мы можем выполнять действия и операции с неравенствами так же, как с равенствами, но с одним исключением: если умножаем или делим обе части неравенства на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный.

Итак, у нас есть неравенство:
6у^2 - 5у + 10 > -у^2 + 5у + 3

Первым шагом, давайте приведем все члены неравенства к одной стороне, чтобы нулевое значение получилось на одной стороне неравенства. Для этого вычтем из обеих сторон неравенства все члены:
6у^2 - 5у + 10 + у^2 - 5у - 3 > 0

Теперь объединяем все подобные члены:
7у^2 - 10у + 7 > 0

Мы получили квадратное неравенство. Чтобы решить его, давайте выясним, когда основа нашего квадратного выражения (у^2) будет положительной или отрицательной.

Основа у^2 будет положительной, когда y^2 > 0. Это верно для любого значения y, кроме y = 0.
Основа у^2 будет отрицательной, когда y^2 < 0. Однако, это условие никогда не выполняется, так как y^2 всегда >= 0.

Теперь давайте рассмотрим остальные члены нашего неравенства:
-10у + 7 > 0

Для решения этой неравенства, вычтем 7 из обеих сторон:
-10у > -7

Теперь, чтобы получить значение у, разделим обе стороны неравенства на -10, при этом меняя знак неравенства:
у < -7/-10
у < 0.7

Таким образом, мы получили, что для любого значения у меньше 0, неравенство 6у^2 - 5у + 10 > -у^2 + 5у + 3 будет выполняться.

Важно помнить, что это только одно из возможных решений, и вам нужно будет указать это при написании полного доказательства.