Докажите, что композиция двух возрастающих функций - функция возрастающая.

Пусть функции и возрастающие на некотором промежутке.

Выберем две точки и из этого промежутка, такие что:

Рассмотрим некоторую композицию этих функций, например, функцию:

Найдем значения этой функции в выбранных точках:

Рассмотрим значения функции и . Так как , а функция - возрастающая, то .

Рассмотрим значения функции и . Так как , а функция - возрастающая, то . Следовательно:

Таким образом, большему значению аргумента соответствует большее значение функции-композиции. Значит, эта функция возрастающая. Доказано.