Докажите,что функция y=F(x) является первообразной для функции y=f(x),если 2 корень из x + cos x, f(x) = 1/корень за 35

корень уровнегия ето моргенштер

Для начала, давайте разберемся, что означает, что функция y=F(x) является первообразной для функции y=f(x).

Если функция y=F(x) является первообразной для функции y=f(x), это означает, что производная функции F(x) равна функции f(x). То есть, f(x) является производной функции F(x).

Теперь рассмотрим уравнение f(x) = 1/√(x + cos x). Нам нужно показать, что существует функция F(x), производная которой равна данной функции f(x).

Для доказательства этого мы воспользуемся теоремой о дифференцировании обратной функции. Если функции F(x) и f(x) являются обратными друг другу, то производная F(x) равна обратной производной f(x), то есть F'(x) = 1/f'(x).

Давайте найдем производную функции f(x) и попробуем найти такую функцию F(x), у которой F'(x) равна 1/f'(x).

Для начала найдем производную функции f(x). Мы можем использовать правило дифференцирования функции вида (1/√u)' = -u'/2uˆ(3/2), где u = x + cos x.

Производная функции f(x) будет выглядеть следующим образом:

f'(x) = -((x + cos x)'/(2(x + cos x)ˆ(3/2)))
= -((1 - sin x)/2(x + cos x)ˆ(3/2))
= -(1 - sin x)/(2(x + cos x)ˆ(3/2))

Теперь давайте найдем функцию F(x), у которой производная равна 1/f'(x). Для этого проинтегрируем 1/f'(x).

∫(1/(1 - sin x)/(2(x + cos x)ˆ(3/2))) dx

Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться методом подстановки. Если мы заменим u = 1 - sin x, то du = -cos x dx, а x = arcsin(1 - u). Заменим эти значения в интеграле:

∫(-2du/((2arcsin(1 - u) + cos(arcsin(1 - u)))ˆ(3/2)))

Выполним замену для функции cos(arcsin(1 - u)). Известно, что cos(arcsin(x)) = √(1 - xˆ2). Заменим эту функцию в интеграле:

∫(-2du/((2arcsin(1 - u) + √(1 - (1 - u)ˆ2))ˆ(3/2)))

Таким образом, найденная функция F(x) является первообразной функции f(x) = 1/√(x + cos x).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как мы доказали, что функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x). Если у вас есть еще вопросы или что-то не понятно, пожалуйста, дайте мне знать.