Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой, и укажите характер монотонности :
y = 3x^5 + 3x^9 - 9
запишите производную заданной функции

Добрый день! Для того чтобы доказать, что функция монотонна на всей числовой прямой, нам необходимо проверить знак ее производной на всем промежутке. Давайте начнем с вычисления производной функции y = 3x^5 + 3x^9 - 9.

Для этого нам понадобится использовать правило дифференцирования степенной функции. Возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности:
dy/dx = d(3x^5)/dx + d(3x^9)/dx - d(9)/dx.

Для каждого слагаемого применим правило степенной функции: d(x^n)/dx = n*x^(n-1). Применим это правило к нашей функции:
dy/dx = 3*5*x^(5-1)+3*9*x^(9-1)-0,
dy/dx = 15x^4 + 27x^8.

Таким образом, производная от функции y равна dy/dx = 15x^4 + 27x^8.

Теперь осталось проверить знак производной на всем промежутке числовой прямой. Для этого найдем точки, в которых производная равна нулю: 15x^4 + 27x^8 = 0.

Мы можем разделить левую и правую части уравнения на x^4, так как производная не определена в точках, где x = 0:
15 + 27x^4 = 0,
27x^4 = -15,
x^4 = -15/27,
x^4 = -5/9.

Заметим, что квадрат числа всегда неотрицателен, поэтому уравнение x^4 = -5/9 не имеет действительных корней. То есть, производная не обращается в ноль на всей числовой прямой.

Теперь вспомним, что функция монотонна на интервале, если ее производная на этом интервале всегда сохраняет постоянный знак. Так как производная не обращается в ноль на всей числовой прямой, это означает, что она либо всегда положительна, либо всегда отрицательна.

Производная dy/dx = 15x^4 + 27x^8 не меняет знак при любых значениях x, поэтому функция y = 3x^5 + 3x^9 - 9 монотонна на всей числовой прямой.

Очень важно запомнить, что производная функции позволяет определить ее скорость изменения в каждой точке и знак этой скорости. Если производная положительная, то функция растет, если отрицательная - убывает. Если производная равна нулю, то функция имеет экстремумы (максимумы и минимумы).

Надеюсь, ответ был понятен и информативен. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!