Докажите, что функция f(x)=xlnx убывает на (0; 1/е)

Для доказательства убывания функции f(x) = xln(x) на интервале (0, 1/е), мы можем использовать производную функции и анализ ее значений.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x). Для этого применим правило дифференцирования произведения функций и правило дифференцирования логарифма:

f'(x) = (x * d/dx(ln(x))) + (ln(x) * d/dx(x))

Шаг 2: Вычислим производную ln(x) и производную x.

Производная ln(x) равна 1/x.

Производная x равна 1.

Подставим эти значения в формулу для производной f'(x):

f'(x) = (x * 1/x) + (ln(x) * 1) = 1 + ln(x)

Шаг 3: Чтобы доказать, что функция f(x) = xln(x) убывает на интервале (0, 1/е), нам нужно показать, что производная f'(x) отрицательна на этом интервале.

Подставим значения (0, 1/е) в производную f'(x):

f'(x) = 1 + ln(x)

f'(0) = 1 + ln(0) - логарифм от нуля не существует, поэтому производная в данной точке не определена.

f'(1/е) = 1 + ln(1/е) = 1 - 1 = 0 - производная в точке 1/е равна нулю.

Таким образом, мы видим, что производная f'(x) меняется от положительного значения на интервале (0, 1/е) до нулевого значения в точке 1/е. Далее, она будет положительной для значений x больше 1/е.

Шаг 4: Исходя из информации о производной f'(x), мы можем сделать вывод, что функция f(x) убывает на интервале (0, 1/е). Обоснование этого заключается в следующем:

- При x < 1/е, производная f'(x) больше нуля, что означает, что функция f(x) растет на этом интервале.
- При x = 1/е, производная f'(x) равна нулю, что означает, что функция f(x) имеет точку экстремума (максимума или минимума) в этой точке.
- При x > 1/е, производная f'(x) снова становится положительной, что означает, что функция f(x) начинает расти.

Таким образом, из анализа производной f'(x) и ее значений, мы можем сделать вывод, что функция f(x) = xln(x) убывает на интервале (0, 1/е).