Докажите что если уравнение x^2+px+q=0, имеет целые корни, то они являются делителями свободного числа.

Если квадратное уравнение имеет целые корни x1 и x2, то
x^2 + px + q = (x - x1)(x - x2) = 0
Это разложение на скобки как раз и означает, что при x = x1 и при x = x2 уравнение становится тождеством, то есть левая часть равна 0.
Раскрываем скобки
x^2 - x1*x - x2*x + x1*x2 = x^2 - (x1+x2)*x + x1*x2 = x^2 + px + q = 0
Так как у нас равенство, то коэффициенты при разных степенях должны быть одинаковы.
p = -(x1 + x2)
q = x1*x2
Отсюда, во-первых, следует теорема Виета, и во-вторых, наше утверждение: корни x1 и x2 являются делителями свободного члена q.