Докажите, что для любого натурального a значение дроби натуральными числом:

Применим метод мат. индукции.

проверим для а=1,(10+5)/3=5

Предположим, что это верно для а=n т.е. справедливо (10ⁿ+5)/3

Докажем, что при (10ⁿ⁺¹+5)/3

(10ⁿ*⁺¹+5)/3=(2ⁿ⁺¹*5ⁿ⁺¹+5)=5*(2ⁿ⁺¹*5ⁿ+1)=5*(10ⁿ*2+1)

10ⁿ*2+1- сумма цифр этого числа равна трем при любом натуральном n, значит, по признаку делимости на три это число делится на три, а, значит, и все число (10ⁿ*⁺¹+5)/3, требуемое доказано.

Но еще проще было заметить, что сумма цифр исходного числа равна 6, а 6 делится на три по признаку делимости и число делится на 3. Доказано.