Докажите что числа p, p+2 и 3p-1 не могут быть простыми одновременно

Здравствуйте!

Заметим, что единственное чётное простое число- это 2. Теперь будем разбираться с чётностью.

Рассмотрим число 3p-1. Чтобы оно было простым, оно должно быть нечётным (1) или равняться двум (2).

В первом случае 3p-1 нечётно, значит 3p - чётно. Поэтому p должно быть чётным числом. Но так как p тоже должно быть простым, то p=2. К сожалению, число p+2, что равняется 4, - не простое число. Значит такое невозможно.

Во втором случае 3p-1=2. Решая уравнение, получаем p=1. Единица- это не простое число, значит такой случай тоже невозможен.

Так как оба случая невозможны, то условие выполняться не может ни при каких значениях p. Значит числа p, p+2 и 3p-1 не могут быть простыми одновременно. Что и требовалось доказать!