Докажи, что производная заданной функции принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента:

y=14x3+7x.

В процессе доказательства ответь на следующие во производной заданной функции является:

y′=( ) x ( )+( )
.

2. Выбери одно выражение, которое доказать, что производная заданной функции принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента:
1)так как14x3+7x≥0,тои42x2+7>0,x∈R
2)так как 14x3≥0,то и42x2+7>0
3)так как7x≥0,то и42x2+7>0
4)так какx2≥0,то иx2>−742,x∈R

3. Укажи несколько формул, которые использовались в вычислении производной заданной функции:
1)(x2)′=2x
2)7′=0
3)(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)
4)(xα)′=αxα−1
​

Чтобы ответить на данный вопрос и доказать, что производная заданной функции принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Вначале, чтобы найти производную заданной функции y=14x^3+7x, нам нужно использовать правила дифференцирования.
У нас есть два слагаемых: 14x^3 и 7x. Для каждого слагаемого мы можем использовать правила дифференцирования.

Применяем правило дифференцирования для первого слагаемого:
(14x^3)' = 3*14x^(3-1) = 42x^2

Применяем правило дифференцирования для второго слагаемого:
(7x)' = 7

Итак, производная функции y=14x^3+7x равна: y' = 42x^2 + 7.

2. Теперь нам нужно показать, что производная принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента. Для этого мы будем анализировать выражение производной y' = 42x^2 + 7.

Выберем одно из предложенных выражений для доказательства:

Вариант 1: так как 14x^3 + 7x ≥ 0, то и 42x^2 + 7 > 0, x ∈ R.

В этом выражении важно понять, что если исходная функция 14x^3 + 7x всегда больше или равна нулю (то есть неотрицательна), то её производная 42x^2 + 7 будет всегда положительной для всех допустимых значений аргумента x.

Мы знаем, что произведение ненулевого положительного числа и положительного числа всегда положительное число.

Следовательно, если 14x^3 + 7x ≥ 0, то 42x^2 + 7 > 0 при всех допустимых значениях x.

3. В процессе вычисления производной заданной функции были использованы следующие формулы:

1) (x^n)' = n*x^(n-1), где n - любое вещественное число,
2) (c)' = 0, где c - константа,
3) (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), где f(x) и g(x) - дифференцируемые функции,
4) (x^a)' = a*x^(a-1), где a - любое вещественное число.

Эти формулы помогли нам пошагово дифференцировать исходную функцию и найти производную y' = 42x^2 + 7.

Таким образом, мы доказали, что производная заданной функции принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента x, используя доказательство варианта 1 и формулы дифференцирования.