Алгебра: Доказать неравенство а²+b²+1≥a+b+ab. , нужно

Сделаем замену тогда наше выражение перепишется в виде преобразуем добавим к обеим частям по и заметим что подставим все и получим теперь откроем скобки перенесем все в левую часть Вспомним что подставим то есть квадраты никогда не могут быть отрицательными чтд ! ...

Доказать неравенство а²+b²+1≥a+b+ab. , нужно

Ответы

gleb101pro 01.10.2020 14:22

Сделаем замену
$a+b=x\\
ab=y$
тогда наше выражение перепишется в виде
$x^2-2y+1 \geq x+y$
преобразуем
$x^2+1 \geq x+3y$
добавим к обеим частям по

и заметим что
$(x+1)^2 \geq 3(x+y)$
подставим все и получим
$(a+b+1)^2 \geq 3(a+b+ab)$
теперь откроем скобки
$a^2+b^2+2ab+2b+2a+1 \geq 3a+3b+3ab \\
$
перенесем все в левую часть
$a^2+b^2-a-b-ab+1 \geq 0$
Вспомним что
$a^2+b^2 \geq 2ab\\
ab \leq \frac{a^2+b^2}{2}$ подставим
$a^2+b^2-a-b-\frac{a^2+b^2}{2} + 1 \geq 0\\
2a^2+2b^2-2a-2b-a^2-b^2+2 \geq 0\\
a^2+b^2-2a-2b+2 \geq 0\\
(a-1)^2+(b-1)^2 \geq 0$
то есть квадраты никогда не могут быть отрицательными чтд !

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра