Доказать неравенство а^2+ab+b^2>0​

Для доказательства неравенства a^2 + ab + b^2 > 0, мы должны использовать алгебраические преобразования и свойства математических операций. Давайте начнем.

Мы знаем, что неравенство будет выполняться для всех возможных значений a и b, за исключением тех случаев, когда оно равно 0. Поэтому мы хотим доказать, что a^2 + ab + b^2 не равно 0.

Для начала, давайте рассмотрим выражение a^2 + ab + b^2. Можем ли мы его переписать, чтобы упростить его форму?

Мы можем заметить, что выражение a^2 + ab + b^2 очень похоже на квадратный трехчлен (a + b)^2. Если мы раскроем скобки в выражении (a + b)^2, получим a^2 + 2ab + b^2. Но у нас в исходном выражении есть только один член ab, а не 2ab.

Чтобы исправить это, добавим и вычтем ab в исходном выражении:

a^2 + ab + b^2 = a^2 + ab + ab + b^2 - ab

Теперь мы можем сгруппировать некоторые члены:

a^2 + ab + ab + b^2 - ab = a^2 + 2ab + b^2 - ab

Теперь выражение похоже на квадратный трехчлен (a + b)^2. Мы можем продолжить с упрощением:

a^2 + 2ab + b^2 - ab = (a + b)^2 - ab

Осталось доказать, что (a + b)^2 - ab > 0.

Чтобы это сделать, рассмотрим два случая:

1) Если a + b > 0, тогда (a + b)^2 > 0, так как квадрат любого положительного числа будет больше 0. Поскольку (a + b)^2 - ab больше чем (a + b)^2, то значит и (a + b)^2 - ab тоже будет больше 0. Следовательно, неравенство выполняется для этого случая.

2) Если a + b < 0, тогда (a + b)^2 > 0. В этом случае, чтобы неравенство выполнялось, (a + b)^2 - ab должно быть больше 0. Но поскольку ab всегда положительно (произведение двух отрицательных чисел дает положительное значение), тогда (a + b)^2 - ab будет больше чем (a + b)^2, и следовательно, неравенство выполняется и для этого случая.

Таким образом, мы доказали, что неравенство a^2 + ab + b^2 > 0 верно для всех возможных значений a и b, за исключением случая, когда оно равно 0.