1. Алгебра
  2. Доказать, что число n = 11 122

Доказать, что число n = 11 122 2 (где k единиц и k двоек) является произведением двух последовательных натуральных чисел.

wartander595 wartander595    3   08.10.2019 04:50    6

Ответы
NoName2345 NoName2345  17.08.2020 10:21

N=11...122...2=(10^{2k-1}+...+10^{k})+2\cdot(10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^1+10^0)

1)

10^{2k-1}+...+10^{k}

a_1=10^{2k-1}

a_2=10^{2k-2}

...

a_k=10^{k}

q=\frac{10^{2k-2}}{10^{2k-1}}=10^{-1}

S_{k1}=\frac{qa_k-a_1}{q-1}=\frac{10^{-1}\cdot10^k-10^{2k-1}}{10^{-1}-1}=\frac{10^{-1}\cdot10^k-10^{2k}\cdot10^{-1}}{ \frac{1}{10} -1}=

\frac{10^{-1}\cdot(10^k-10^{2k})}{ \frac{9}{10}}=\frac{ \frac{1}{10} \cdot(10^k-10^{2k})}{- \frac{9}{10}}=\frac{10^{2k}-10^{k}}{ 9}

2)

10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^1+10^0

b_1=10^{k-1}

b_2=10^{k-2}

...

b_{k}=1

q= \frac{10^{k-2}}{10^{k-1}}=10^{-1}

S_{k2}=\frac{qb_k-b_1}{q-1}=\frac{10^{-1}\cdot1-10^{k-1}}{10^{-1}-1}=

\frac{10^{-1}\cdot1-10^{k}\cdot10^{-1}}{ \frac{1}{10} -1}=\frac{10^{-1}\cdot(1-10^{k})}{- \frac{9}{10}}=

\frac{ \frac{1}{10} \cdot(1-10^{k})}{- \frac{9}{10}}=\frac{ 10^{k}-1}{9}

============================

N=11...122...2=(10^{2k-1}+...+10^{k})+2\cdot(10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^1+10^0)=

\frac{10^{2k}-10^{k}}{ 9}+2\cdot\frac{ 10^{k}-1}{9}= \frac{10^{2k}+10^k-2}{9}=

\frac{10^{2k}}{9}+\frac{10^k}{9}-\frac{2}{9}=

\frac{10^{2k}}{9}-2\cdot\frac{10^k}{9}+\frac{1}{9}+3\cdot\frac{10^k}{9}- \frac{3}{9} =

\left( \frac{10^k}{3}- \frac{1}{3} \right) ^2+3\left(\frac{10^k}{9}- \frac{1}{3} \right) =

\left( \frac{10^k}{3}- \frac{1}{3} \right) ^2+\left(\frac{10^k}{3}- \frac{1}{3} \right) =

\left(\frac{10^k}{3}- \frac{1}{3} \right)\cdot\left( \frac{10^k}{3}- \frac{1}{3}+1\right)=n(n+1)

n=\frac{10^k}{3}- \frac{1}{3}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
мам65 мам65  13.04.2021 11:10
биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника ABC параллельно сторонеAC..Найдите величину угла CAB,если ∆ABC=34 градусов ответ дайте в градуссах​...
hjdbr hjdbr  13.04.2021 11:13
Тема: неповні квадратні рівняння, їх розв*язування Відповідь має бути: -2,5; 0 Розв*яжіть рівняння (x-2)(x+2)+8=(3x+2)²...
bobbobyashka1 bobbobyashka1  12.09.2019 04:50
Решите неравенство с одним неизвестным : 3x+4 2...
teymurvalikhan1 teymurvalikhan1  12.09.2019 04:50
Какая точка принадлежит графиуц функции у=2х2+4 а (2; 8) в (2,4)с (3; 22) d (0; 6) е (0; 0)...
karolinetynfag karolinetynfag  19.07.2019 22:20
50 ! постройте график функции . с графика найдите : а) промежутки возрастания и убывания функции ,б) наибольшее значение функции ,в) при каких значениях x y 0....
davidgjggjj davidgjggjj  19.07.2019 22:20
Выражения, ! 1. a^2-81/2a^2-18a 2. 7/a-a^2-7/а...
ahmedovadidi090 ahmedovadidi090  02.09.2021 16:03
Вычислите значение выражения (отдельно расписать по действиям) 1) 18 - * 1 - * 2) (-1,42 - (3,22)) : (-0,4) + (-6) * (-0,7)...
хеллокиттичка хеллокиттичка  02.09.2021 16:03
0.6. Найдите корни уравнений с теоремы Виета: 2) 4x2-12x+9=0; 5) x2-7ax+12а2=0; 6) х2+5bx+6b2=0; 7) х^2- (корень2+1)х+корень 2 =0; 8) х2 + (корень2+корень6) x+2корент3=0....
r2973548 r2973548  02.09.2021 16:04
На доске написано 24 попарно различных натуральных чисел. Их среднее арифметическое равно 38. Пусть M – наименьшее из написанных чисел. Найдите наибольшее возможное значение...
alexey1222987 alexey1222987  02.09.2021 16:04
ULU RUTE Установите, при каких значениях переменной алгебраическая дробь имеет смысл: 2c2 - 7 B) (c + 3)2 r) 27m3 - 15 4m2 + 36m + 81...

Популярные вопросы