Доказать что числа 27x+4 и 18x+3 взаимно просты при любом натуральны​

Чтобы доказать, что числа 27x+4 и 18x+3 взаимно просты при любом натуральном значении x, мы должны показать, что у них нет общих простых делителей, кроме единицы.

Предположим, что у нас есть общий делитель этих двух чисел, обозначим его через d. Тогда мы можем записать:

27x+4 = kd
18x+3 = ld

Где k и l также являются натуральными числами.

Вычтем второе уравнение из первого:

27x+4 - (18x+3) = kd - ld

Упрощаем:

9x + 1 = (k-l)d

Теперь давайте обратим внимание на левую сторону уравнения. Заметим, что 9x является кратным числа 9 (потому что умножаем на 9), а 1 является остатком от деления на 9. То есть левая сторона всегда имеет остаток 1 при делении на 9.

Теперь рассмотрим правую сторону уравнения. Мы знаем, что (k-l)d является делителем числа 9x+1. При этом мы должны показать, что остаток при делении (9x+1) на (k-l)d равен нулю.

Давайте предположим противное - предположим, что остаток при делении (9x+1) на (k-l)d не равен нулю. Тогда остаток может быть любым числом от 1 до (k-l)d - 1.

Но мы знаем, что левая сторона уравнения всегда имеет остаток 1 при делении на 9, а значит и правая сторона тоже должна иметь остаток 1 при делении на (k-l)d.

Это значит, что остаток 1 и остаток отделения, отличный от нуля, не могут совпадать. Таким образом, предположение о непрерывности остатка не может быть верным.

Поскольку мы пришли к противоречию, можно сделать вывод, что остаток при делении (9x+1) на (k-l)d должен быть нулевым.

Это означает, что (9x+1) делится на (k-l)d без остатка.

Теперь давайте рассмотрим два случая:

1. Если (k-l) не делит 9, то оно должно делить (9x+1). Но мы знаем, что (9x+1) делится только на 9 и 1 без остатка, а значит (k-l) не может быть общим делителем чисел 27x+4 и 18x+3.

2. Если (k-l) делит 9, то оно должно делить и (9x+1). При этом (k-l) может быть равно 3, 1 или 9.

- Если (k-l) равно 3, то (9x+1) делится на 3. Но ни одно из чисел 27x+4 или 18x+3 не делится на 3, что означает, что в этом случае (k-l) также не может быть общим делителем.
- Если (k-l) равно 1, то (9x+1) делится на 1. В этом случае (k-l) будет общим делителем, но так как нам нужно доказать, что числа 27x+4 и 18x+3 взаимно просты, это противоречит условию, и этот случай не может быть истинным.
- Если (k-l) равно 9, то (9x+1) делится на 9. Но ни одно из чисел 27x+4 или 18x+3 не делится на 9, значит (k-l) не может быть общим делителем.

Таким образом, вне зависимости от значения (k-l), числа 27x+4 и 18x+3 не имеют общих делителей, за исключением единицы.

Ответ: Числа 27x+4 и 18x+3 взаимно просты при любом натуральном значении x.