Для каждого значения параметра a определите количество корней уравнения ax^2+(a+1)^2*x+a+2=0; *вторая степень 2,чтобы не запутались.

1)При а=0 уравнение линейное и имеет вид:
х+2=0
х=-2 один корень
2) При а≠0
Найдем дискриминант квадратного уравнения
D=((a+1)²)²-4a(a+2)=(a²+2a+1)²-4(a²+2a)=(a²+2a)²+2(a²+2a)+1-4(a²+2a)=
=(a²+2a)²-2(a²+2a)²+1=(a²+2a-1)²

При D=0 уравнение имеет один корень
a²+2a-1=0
a₁=(-2-√8)/2=-1-√2     или    a₂=(-2+√8)/2=-1+√2

При D>0, т. е. при    a₁≠ -1-√2     или    a₂≠ -1+√2   уравнение имеет два корня
ответ.  при а=0; a=-1-√2 ;   a=-1+√2  уравнение имеет один корень
           при а∈(-∞;-1-√2 )U(-1-√2;0)U(0;-1+√2)U(-1+√2;+∞)  уравнение имеет два корня.

Смотри решение во вложении