Для каких целых значений а, функция y=-x^2 + 2x + a принимает ровно 4 положительных целых значения

Квадратичная функция. График - парабола. Ветви направлены вниз, т.к. коэффициент квадратного члена - отрицательное число.

Найдем вершину:
Xo = -b/(2a) = -2/(-2) = 1
Yo = f(Xo) = -1 + 2 + a = a + 1

В данном случае, вершина является максимумом функции. Чтобы функция принимала ровно четыре положительных значения при целых a максимальное значение функции должно быть 4.

Приравниваем максимум к 4
a + 1 = 4
Откуда a = 3