Дано: М1(4; -2); М2(5; 5); φ=300; ¯S=(3; 7); ¯n=(4; 1).

Напишите общие уравнения прямых, проходящих через

Точку М1 под углом φ к оси ОХ;

Точки М1 и М2;

Точку М1 параллельно вектору ¯S;

Точку М2 перпендикулярно вектору ¯n.

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые теоретические сведения о векторах и углах. 1) Общее уравнение прямой через точку M1 под углом φ к оси OX: Дано, что точка M1 имеет координаты (4, -2) и мы хотим найти уравнение прямой, которая проходит через эту точку под углом φ к оси OX. Угол φ можно задать в радианах, используя формулу φ = arctan(tgφ), где arctan это обратная тригонометрическая функция тангенса. Так как нам дан угол φ = 300°, то подставим его в формулу и найдем его радианную меру φ = 300° * π/180° = 5π/6. Также, мы знаем, что проекция вектора на ось OX равна его длине, то есть длина вектора ¯S равна 4. Теперь, чтобы найти вектор направления данной прямой, мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями. Угол φ между вектором направления и осью OX равен φ. То есть, если вектор направления прямой обозначить через ¯d, то мы имеем следующие соотношения: cosφ = d_x / |d|, sinφ = d_y / |d|, где d_x и d_y - координаты вектора ¯d, а |d| - длина вектора ¯d. Мы уже знаем, что длина вектора ¯S равна 4. Теперь найдем координаты вектора ¯d. cos(5π/6) = d_x / 4, sin(5π/6) = d_y / 4. Определимся с углом 5π/6. Угол (5π/6) представляет собой угол в третьем квадранте, в котором тригонометрические функции косинус и синус отрицательны. Так как cos(5π/6) = cos(-π/6) = cos(π - π/6) = cos( π/6) и sin(5π/6) = sin(-π/6) = -sin(π/6), то cos(5π/6) = cos(π/6) = sqrt(3)/2, sin(5π/6) = -sin(π/6) = -1/2. Подставим значения в уравнения и решим их: sqrt(3)/2 = d_x / 4, -1/2 = d_y / 4. Умножим оба уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя: d_x = 4 * sqrt(3)/2 = 2 * sqrt(3), d_y = 4 * (-1/2) = -2. Таким образом, вектор направления ¯d = (2 * sqrt(3), -2). Теперь мы можем записать общее уравнение прямой, проходящей через точку M1 под углом φ к оси OX: (x - 4)/2*sqrt(3) = (y + 2)/-2. 2) Общее уравнение прямой через точки M1 и M2: Дано, что точка M1 имеет координаты (4, -2), а точка M2 имеет координаты (5, 5). Чтобы найти уравнение прямой, которая проходит через эти две точки, мы можем использовать формулу для определения общего уравнения прямой через две точки: (y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек M1 и M2 соответственно. Подставим данные значения и решим уравнение: (y - (-2))/(5 - 4) = (x - 4)/(5 - 4) => (y + 2)/1 = (x - 4)/1 => y + 2 = x - 4 => y = x - 6. Таким образом, общее уравнение прямой, проходящей через точки M1 и M2, равно y = x - 6. 3) Общее уравнение прямой через точку M1 параллельно вектору ¯S: Дано, что точка M1 имеет координаты (4, -2), а вектор ¯S имеет координаты (3, 7). Чтобы найти уравнение прямой, которая проходит через точку M1 и параллельна вектору ¯S, мы знаем, что вектор направления данной прямой будет таким же, как и вектор ¯S. Мы можем записать общее уравнение прямой в векторной форме: ¯r = ¯r_0 + t * ¯S, где ¯r = (x, y) - произвольная точка на прямой, ¯r_0 = (x0, y0) - точка на прямой, t - параметр. Подставим значения в уравнение: (x, y) = (x0, y0) + t * (3, 7), (x, y) = (4, -2) + t * (3, 7). Таким образом, общее уравнение прямой, проходящей через точку M1 и параллельно вектору ¯S, равно x = 4 + 3t и y = -2 + 7t. 4) Общее уравнение прямой через точку М2 перпендикулярно вектору ¯n: Дано, что точка M2 имеет координаты (5, 5), а вектор ¯n имеет координаты (4, 1). Чтобы найти уравнение прямой, которая проходит через точку М2 и перпендикулярна вектору ¯n, нам нужно найти вектор, перпендикулярный ¯n. Если вектор ¯n имеет координаты (a, b), то вектор, перпендикулярный ¯n, будет иметь координаты (-b, a). Мы можем записать общее уравнение прямой в векторной форме: ¯r = ¯r_0 + t * (-b, a), где ¯r = (x, y) - произвольная точка на прямой, ¯r_0 = (x0, y0) - точка на прямой, t - параметр. Подставим значения в уравнение: (x, y) = (x0, y0) + t * (-b, a), (x, y) = (5, 5) + t * (-1, 4). Таким образом, общее уравнение прямой, проходящей через точку М2 и перпендикулярно вектору ¯n, равно x = 5 - t и y = 5 + 4t. Это и есть ответ на поставленные вопросы.