Дано (2x^3-4x-3)^2+(x^3-x+1)^6. найдите: степень многочлена; старший коэффициент и свободный член; сумму коэффициентов многочлена; сумму коэффициентов при четных степенях​

Хорошо, давайте разберём этот вопрос по шагам.

1. Сначала найдём степень многочлена. Для этого нужно найти самую большую степень среди всех мономов в многочлене. В данном случае у нас есть два слагаемых: (2x^3-4x-3)^2 и (x^3-x+1)^6. Сначала посмотрим на первое слагаемое. У него степень монома равна 3, так как самая большая степень переменной x равна 3. Мы возводим это в квадрат, поэтому степень многочлена будет удвоенной. То есть степень первого слагаемого будет 2 * 3 = 6. Аналогично найдём степень второго слагаемого. У него степень монома равна 3, и мы возводим его в 6-ю степень, поэтому степень второго слагаемого будет 3 * 6 = 18. Теперь нужно выбрать большую из полученных степеней, чтобы определить степень всего многочлена. В нашем случае это 18. Таким образом, степень многочлена равна 18.

2. Теперь найдём старший коэффициент и свободный член. Чтобы найти старший коэффициент, нужно взять коэффициент при самом большом мономе в многочлене. В нашем случае самый большой моном будет иметь степень 18, поэтому нам нужно найти коэффициент при этой степени. Обратимся ко второму слагаемому, (x^3-x+1)^6. Поскольку мы возводим его в степень 6, нам нужно найти коэффициент при x^18. В многочлене (x^3-x+1)^6 коэффициент при x^18 будет равен 1, так как это будет результат перемножения шести 1, у каждого слагаемого (x^3-x+1) будет коэффициент 1. Теперь перейдём к первому слагаемому, (2x^3-4x-3)^2. Обращаем внимание на то, что мы возводим этот многочлен в квадрат, поэтому его старший коэффициент не изменится. Старший коэффициент первого слагаемого равен 2. Теперь объединим результаты из двух слагаемых: у нас есть коэффициент 1 при x^18 и коэффициент 2 при x^6. Так как эти слагаемые независимы, мы просто суммируем эти коэффициенты.

Теперь найдём свободный член. Свободный член - это коэффициент при мономе, у которого нет переменных. В данном случае это (2x^3-4x-3)^2 и (x^3-x+1)^6. Поскольку у первого слагаемого нет свободного члена, мы игнорируем его. А во втором слагаемом у нас есть свободный член, который равен 1. Для нашего многочлена свободный член будет равен 1.

3. Теперь найдём сумму всех коэффициентов многочлена. Для этого нам нужно просто сложить все коэффициенты многочлена. Рассмотрим наше первое слагаемое, (2x^3-4x-3)^2. Сумма всех его коэффициентов будет равна 2 + (-4) + (-3) = -5. Второе слагаемое, (x^3-x+1)^6, тоже имеет сумму коэффициентов, которая в данном случае будет равна 1. Теперь сложим эти две суммы коэффициентов, -5 + 1 = -4. Таким образом, сумма всех коэффициентов нашего многочлена равна -4.

4. Наконец, найдём сумму коэффициентов при четных степенях. Для этого нам нужно сложить только те коэффициенты многочлена, которые находятся при чётных степенях переменной x. Рассмотрим первое слагаемое, (2x^3-4x-3)^2. У нас есть коэффициент 2 при x^3. Поскольку это нечётная степень, мы его игнорируем. У нас также есть коэффициент -4 при x. Так как это нечётная степень, мы его также игнорируем. Таким образом, сумма коэффициентов первого слагаемого равна 0. Что касается второго слагаемого, (x^3-x+1)^6, все его коэффициенты при чётных степенях будут равны 1. Поскольку мы суммируем их во взятой степени, сумма коэффициентов второго слагаемого будет равна 1 * 6 = 6. Теперь сложим полученные суммы, 0 + 6 = 6. Таким образом, сумма коэффициентов при чётных степенях нашего многочлена равна 6.

В итоге, ответы на заданные вопросы:
- Степень многочлена: 18.
- Старший коэффициент: 1.
- Свободный член: 1.
- Сумма коэффициентов многочлена: -4.
- Сумма коэффициентов при четных степенях: 6.

Надеюсь, это понятно объясняет решение данной задачи!