Дана правильная четырёхугольная пирамида KABCD, все рёбра которой равны 2 ед. изм. На рёбрах KC и KD соответственно находятся серединные точки M и N.
Определи косинус угла α между прямыми AN и DM.
(ответ запиши в виде сокращённой дроби.)

Добрый день! Давай разберемся с задачей по очереди. 1. В нашей задаче дана пирамида KABCD, где все ребра равны 2 единицам измерения. Это означает, что длины отрезков KA, KB, KC, KD, AB, AC, BC, CD, DA, DB равны 2 единицам измерения. 2. Также в задаче упоминается, что на ребрах KC и KD находятся серединные точки M и N соответственно. Что это значит? Серединная точка на отрезке - это точка, которая делит этот отрезок пополам. Используя это определение, можем сказать, что длины отрезков KM и MN также равны 1 единице измерения. 3. Наша задача состоит в определении косинуса угла α между прямыми AN и DM. Для начала, давай поищем некоторые свойства этой пирамиды, которые нам могут пригодиться. 4. Заметим, что треугольник AKB является равнобедренным, так как его стороны AK и AB равны друг другу. Косинус угла α1 между прямыми AK и KB можно вычислить с помощью косинусов этого треугольника по формуле: cos(α1) = (AB^2 + AK^2 - KB^2) / (2 * AB * AK) = (2^2 + 2^2 - 2^2) / (2 * 2 * 2) = (4 + 4 - 4) / 8 = 4 / 8 = 1/2. 5. Так как треугольник KCD также равнобедренный, можно также определить косинус угла α2 между прямыми KC и CD. Произведем подобные вычисления: cos(α2) = (KC^2 + CD^2 - KD^2) / (2 * KC * CD) = (2^2 + 2^2 - 2^2) / (2 * 2 * 2) = (4 + 4 - 4) / 8 = 4 / 8 = 1/2. 6. Теперь нам нужно определить косинус угла α между прямыми AN и DM. Обрати внимание, что прямые AN и DM являются прямыми, проведенными внутри плоскостей треугольников AKB и KCD соответственно. Это означает, что угол α между этими прямыми будет равен α1 + α2. 7. Подставим значения α1 и α2 в формулу для нахождения косинуса угла α: cos(α) = cos(α1 + α2) = cos(α1) * cos(α2) - sin(α1) * sin(α2). Но у нас нет значений синусов углов α1 и α2, чтобы использовать их в формуле. 8. Однако, мы знаем, что между синусом и косинусом существует следующая связь: sin^2(α) + cos^2(α) = 1. Подставим это значение в нашу формулу: cos(α) = cos(α1) * cos(α2) - sin(α1) * sin(α2) = cos(α1) * cos(α2) - sqrt(1 - cos^2(α1)) * sqrt(1 - cos^2(α2)). 9. Теперь можем заменить значения cos(α1) и cos(α2) в формуле: cos(α) = (1/2) * (1/2) - sqrt(1 - (1/2)^2) * sqrt(1 - (1/2)^2) = 1/4 - sqrt(3/4) * sqrt(3/4) = 1/4 - (3/4) = -2/4 = -1/2. Ответ: косинус угла α между прямыми AN и DM равен -1/2.