Дана функция y={x2−4x+4,x≥−1,−9x,x<−1. Определи, как должна быть расположена прямая, параллельная оси абсцисс, чтобы иметь с этим графиком две общие точки.
​

Для начала, давайте разберемся с графиком данной функции y.

У нас есть два случая: x ≥ -1 и x < -1.

При x ≥ -1, функция y = x^2 - 4x + 4. Это квадратная функция, которая имеет параболу вверх. Мы можем найти вершину этой параболы, используя формулу (-b/2a, f(-b/2a)). В данном случае a = 1, b = -4:

x-координата вершины = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2
y-координата вершины = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0

Таким образом, вершина параболы для x ≥ -1 находится в точке (2, 0).

При x < -1, функция y = -9x. Это прямая линия с отрицательным наклоном, проходящая через начало координат (0,0).

Теперь давайте определим, как должна быть расположена параллельная оси абсцисс прямая, чтобы иметь две общие точки с графиком данной функции y.

Мы знаем, что параллельные линии имеют одинаковый наклон. Так как параллельная линия должна иметь две общие точки с графиком y, это означает, что она должна пересекать график функции как минимум два раза.

Поскольку у нас два разных случая для x (x ≥ -1 и x < -1), давайте рассмотрим каждый из них отдельно.

Для x ≥ -1, график функции y = x^2 - 4x + 4 выглядит как парабола, открытая вверх, с вершиной в точке (2, 0). Чтобы параллельная прямая имела две общие точки с графиком, она должна пересекать параболу дважды.

Если параллельная прямая параллельна оси абсцисс, это означает, что она имеет угловой коэффициент равный 0. То есть, уравнение прямой будет иметь вид y = k (где k - константа).

Так как прямая параллельна оси абсцисс, она будет пересекать ось абсцисс в точке с нулевой ординатой (0, 0).

Теперь нам нужно определить, где эта линия будет пересекать параболу дважды.

Решим уравнение параболы и прямой вместе:

x^2 - 4x + 4 = k

Это квадратное уравнение, и чтобы иметь два корня, его дискриминант (D) должен быть положительным.

D = b^2 - 4ac
D = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Дискриминант D = 0, что означает, что у уравнения будет ровно один корень. Поэтому прямая параллельная оси абсцисс будет иметь только одну общую точку с параболой для x ≥ -1.

Перейдем ко второму случаю, x < -1. График функции y = -9x - это прямая линия, проходящая через начало координат (0,0) и с наклоном вниз.

Опять же, чтобы параллельная прямая имела две общие точки с графиком, она должна пересекать прямую линию дважды.

Если параллельная прямая параллельна оси абсцисс, это означает, что её наклон равен 0, и уравнение прямой будет иметь вид y = k.

Поскольку мы хотим, чтобы прямая пересекала данную прямую дважды, нам нужно найти две разные точки пересечения двух прямых.

Подставим уравнения обеих прямых друг в друга:

-9x = k

Так как у прямой линии k является константой и не зависит от x, то приведем оба уравнения к общему виду, а именно y = 0 и y = -9x:

0 = k
-9x = k

Сравнивая два уравнения, видим, что у них нет общих точек пересечения, кроме начала координат (0,0). То есть, параллельная прямая будет иметь только одну общую точку с графиком для x < -1.

Итак, чтобы параллельная прямая имела две общие точки с графиком y = {x^2 - 4x + 4, x ≥ -1, -9x, x < -1}, её наклон должен быть равен 0, и она должна быть размещена строго параллельно оси абсцисс.