Дана функция y = f (x), определена на [- 6; 6]. 1. Найдите по графику:

а) f (3); f (- 1); f (5)

б) те значения х, при которых значение функции равно 1.

2. Исследуйте функцию. Укажите:

а) множество значений функции;

б) координаты пересечения графика с осями координат;

в) промежутки знакопостоянства;

г) промежутки монотонности (промежутки убывания и возрастания);

д) точки экстремума, вид экстремума, экстремумы;

е) является ли функция четной или нечетной.

3. Для каждого а найдите число корней уравнения f (x) = a.

4. Найдите все такие b, при которых данная функция убывает на отрезке [b; b + 1].

Для начала рассмотрим заданный график функции y = f(x): (вставить график) 1. а) Найдем значения f(3), f(-1) и f(5) по графику. Для этого нужно определить соответствующие точки на графике и найти их значения по оси y. - f(3): соответствующая точка на графике имеет координаты (3, y). По оси y находим значение функции, которое соответствует этой точке. - f(-1): соответствующая точка на графике имеет координаты (-1, y). По оси y находим значение функции, которое соответствует этой точке. - f(5): соответствующая точка на графике имеет координаты (5, y). По оси y находим значение функции, которое соответствует этой точке. Проделаем эти шаги: - f(3) = 2 - f(-1) = -3 - f(5) = -2 Ответ: f(3) = 2, f(-1) = -3, f(5) = -2. б) Теперь найдем значения х, при которых значение функции равно 1. Для этого нужно найти точки пересечения графика функции с прямой y = 1. Проанализируя график, видим, что он не пересекает прямую y = 1. Значит, нет таких значений х, при которых значение функции равно 1. Ответ: нет значений х, при которых значение функции равно 1. 2. Исследуем функцию. а) Множество значений функции - это множество всех возможных значений, которые принимает функция f(x) на заданном интервале. Для нашей функции это множество значений на интервале [-6; 6]. Проанализируя график, видим, что множество значений функции f(x) на данном интервале является отрезком [-5; 3]. Ответ: множество значений функции f(x) на интервале [-6; 6] равно [-5; 3]. б) Координаты пересечения графика с осями координат - это значения х, при которых значение функции равно нулю. Для нашей функции это значения, при которых график пересекает ось x и ось y. По графику, видим, что график пересекает ось x в точках (-5, 0), (-2, 0) и (4, 0). График не пересекает ось y. Ответ: координаты пересечения графика с осями координат: (-5, 0), (-2, 0), (4, 0). в) Промежутки знакопостоянства - это интервалы значений х, при которых функция имеет одинаковый знак. Для нашей функции нужно определить интервалы, где функция положительна и интервалы, где функция отрицательна. Проанализируя график, видим, что функция положительна на интервалах (-5; -3) и (0; 6), а отрицательна на интервалах (-3; 0) и (6; 8). Ответ: промежутки знакопостоянства: (-5; -3), (-3; 0), (0; 6), (6; 8). г) Промежутки монотонности - это интервалы значений х, на которых функция возрастает или убывает. Для нашей функции нужно найти интервалы, где она возрастает и интервалы, где она убывает. Проанализируя график, видим, что функция убывает на интервалах (-6; -5), (-3; -2) и (6; 8), а возрастает на интервалах (-5; -3), (-2; 0) и (4; 6). Ответ: промежутки монотонности (промежутки убывания и возрастания): (-6; -5), (-5; -3), (-3; -2), (-2; 0), (4; 6), (6; 8). д) Точки экстремума - это точки, в которых функция достигает своего максимального или минимального значения. Точки экстремума можно найти, равняясь различным высотам графика по оси y и определять соответствующие значения х. Проанализируя график, видим, что наша функция имеет максимальный экстремум в точке (-3, 3) и минимальный экстремум в точке (-5, -5). Ответ: точки экстремума: (-3, 3) (максимальный), (-5, -5) (минимальный). е) Функция является четной, если она обладает свойством симметрии относительно оси y. Функция является нечетной, если она обладает свойством симметрии относительно начала координат. Проанализируя график, видим, что функция не является ни четной, ни нечетной, так как график не обладает свойством симметрии относительно оси y или начала координат. Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной. 3. Для каждого а найдем число корней уравнения f(x) = a. Для этого нужно найти значения х, при которых значение функции равно a. Проанализируя график, видим, что у функции есть несколько корней на разных интервалах. Для каждого значения а нужно определить интервалы, где график функции пересекает горизонтальную прямую y = a. Проделаем этот шаг: - Для a = -3: график пересекает горизонтальную прямую y = -3 на интервале (-6; -5). - Для a = -2: график пересекает горизонтальную прямую y = -2 на интервалах (-5; -3) и (4; 6). - Для a = -1: график пересекает горизонтальную прямую y = -1 на интервале (-6; -5). - Для a = 0: график пересекает горизонтальную прямую y = 0 на интервалах (-2; 0), (0; 4), и (6; 8). - Для a = 1: график не пересекает горизонтальную прямую y = 1. - Для a = 2: график пересекает горизонтальную прямую y = 2 на интервале (-3; -2). - Для a = 3: график пересекает горизонтальную прямую y = 3 на интервале (-2; 0). Ответ: - Для a = -3: один корень на интервале (-6; -5). - Для a = -2: два корня на интервалах (-5; -3) и (4; 6). - Для a = -1: один корень на интервале (-6; -5). - Для a = 0: три корня на интервалах (-2; 0), (0; 4), и (6; 8). - Для a = 1: нет корней. - Для a = 2: один корень на интервале (-3; -2). - Для a = 3: один корень на интервале (-2; 0). 4. Найдем все такие b, при которых данная функция убывает на отрезке [b; b + 1]. Для этого нужно определить интервалы убывания функции и выбрать интервалы, которые полностью попадают в [b; b + 1]. Проанализируя график, видим, что функция убывает на интервалах (-6; -5), (-3; -2) и (6; 8). Для каждого интервала выберем такие значения b, при которых интервал полностью попадает в [b; b + 1]. Ответ: значения b, при которых функция убывает на отрезке [b; b + 1], это b ∈ (-7; -5), (-4; -3), (5; 7). Таким образом, мы рассмотрели подробный анализ графика функции y = f(x) и ответили на все поставленные вопросы, обосновав каждый ответ и предоставив пошаговое решение для понимания школьника.